КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Геометрический смысл определенного интегралаОпределение 1. Пусть функция непрерывна и принимает неотрицательные значения на отрезке . Фигура, ограниченная графиком функции , осью абсцисс и прямыми , называется криволинейной трапецией. Определение 2. Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции , осью абсцисс и прямыми . Разделим отрезок на n частей (не обязательно равных), длины этих частей обозначим . На каждом из полученных отрезков возьмём произвольную точку. Эти точки обозначим
На каждом частичном отрезке как на основании построим прямоугольник, высота которого равна значению функции в точке, выбранной на этом отрезке. Фигура, составленная из n построенных прямоугольников, называется ступенчатой фигурой. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей прямоугольников, составляющих эту фигуру, то есть . Замечание. Площадь ступенчатой фигуры зависит и от числа n разбиений отрезка на части, и от выбора точек на частичных отрезках. Но чем больше значение n, тем меньше площадь ступенчатой фигуры отличается от площади S криволинейной трапеции. Пусть теперь число n разбиений отрезка стремится к бесконечности так, что длина каждого частичного отрезка стремится к нулю. Можно доказать, что для непрерывной функции f(x) предел последовательности площадей ступенчатых фигур при существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек на частичных отрезках. Этот предел и называют площадью криволинейной трапеции. Определение 3. Площадью криволинейной трапеции называется предел последовательности площадей ступенчатых фигур при условии, что число n разбиений отрезка стремится к бесконечности так, что длина каждого частичного отрезка стремится к нулю. Теорема о геометрическом смысле определённого интеграла.Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми : .
|