Геометрический смысл определенного интеграла
Определение 1. Пусть функция непрерывна и принимает неотрицательные значения на отрезке . Фигура, ограниченная графиком функции , осью абсцисс и прямыми , называется криволинейной трапецией.
Определение 2. Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции , осью абсцисс и прямыми .
Разделим отрезок на n частей (не обязательно равных), длины этих частей обозначим . На каждом из полученных отрезков возьмём произвольную точку. Эти точки обозначим ![](https://konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783436958.files/image1963.gif)
На каждом частичном отрезке как на основании построим прямоугольник, высота которого равна значению функции в точке, выбранной на этом отрезке.
Фигура, составленная из n построенных прямоугольников, называется ступенчатой фигурой.
![](https://konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783436958.files/image1972.gif)
Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей прямоугольников, составляющих эту фигуру, то есть
.
Замечание. Площадь ступенчатой фигуры зависит и от числа n разбиений отрезка на части, и от выбора точек на частичных отрезках. Но чем больше значение n, тем меньше площадь ступенчатой фигуры отличается от площади S криволинейной трапеции.
Пусть теперь число n разбиений отрезка стремится к бесконечности так, что длина каждого частичного отрезка стремится к нулю. Можно доказать, что для непрерывной функции f(x) предел последовательности площадей ступенчатых фигур при существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек на частичных отрезках. Этот предел и называют площадью криволинейной трапеции.
Определение 3. Площадью криволинейной трапеции называется предел последовательности площадей ступенчатых фигур при условии, что число n разбиений отрезка стремится к бесконечности так, что длина каждого частичного отрезка стремится к нулю.
![](https://konspekta.net/lektsiiimg/baza2/496783436958.files/image1981.gif)
Теорема о геометрическом смысле определённого интеграла.Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми : .
|