С разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида , где и – данные функции, – искомая функция.

Алгоритм решения такого уравнения рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение:

1) Заменить производную искомой функции отношением дифференциалов : .

2) Разделить переменные (то есть представить уравнение в таком виде, чтобы в одной его части содержалось выражение только от x и dx, а в другой части – выражение только от y и dy): .

3) Проинтегрировать каждую часть уравнения по соответствующей переменной: .

4) Решить полученное уравнение относительно y: .

Ответ: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:

1. Находим общее решение уравнения:

.

2. Используя начальное условие, находим значение C:

.

3. Подставляя найденное значение в общее решение , получаем искомое частное решение .

Ответ: .