Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид , где – данная функция, – искомая функция.

Общее решение уравнения можно найти, дважды проинтегрировав правую часть уравнения: , . Общее решение уравнения имеет вид , то есть содержит две произвольные постоянные и .

Давая величинам и произвольные конкретные значения, из общего решения получают его частные решения.

Чтобы найти конкретные значения и , нужно задать два дополнительных условия.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в нахождении его частного решения, удовлетворяющего начальным условиям вида , , где , и – данные числа.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

1)

;

2) .

Ответ: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение:

1. Находим общее решение уравнения:

;

.

2. Используя начальные условия, находим значения и :

;

.

3. Подставляя найденные значения и в общее решение , получаем искомое частное решение .

Ответ: .