Общая схема исследования функции

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование функции на четность и нечетность.

3. Установление области непрерывности функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

4. Исследование поведения функции при (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

5. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

6. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

7. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

8. Построение графика функции.

Пример. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение.

1. Область определения функции .

2. , и . Следовательно, данная функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непрерывна в области определения, как частное двух непрерывных функций. Исследуем точку :

, .

Поэтому - точка разрыва функции с бесконечным скачком, а прямая - вертикальная асимптота графика функции.

4. Вычислим пределы при .

Так как , то . Следовательно, прямая - левосторонняя горизонтальная асимптота графика.

С другой стороны, .

Правосторонней горизонтальной асимптоты не существует.

Будем искать правостороннюю наклонную асимптоту.

, так как уже был вычислен . При нет асимптоты ни горизонтальной, ни наклонной.

5. Находим .

Производная равна нулю в точке .

Составляем таблицу.

	-	-		+
	убывает	убывает		возрастает

.

6. Найдем вторую производную.

.

не обращается в нуль ни в одной точке, так как , при всех . Но не существует в точке .

Составляем таблицу.
		-	+
	Гра- фик	выпуклый	вогнутый

7. Точка не входит в область определения. Поэтому график не пересекает ось .

Уравнение не имеет решений, так как при всех . Следовательно, ось график тоже не пересекает. Функция отрицательна при и положительна при . Найдем несколько дополнительных точек для построения графика.

	-3	-2	-1			0,5	-0,5
	-0,02	-0,07	-0,37	3,69	6,66	-1,21	3,30

, , , ,

, , .