Доказательство. 1. Функция непрерывна существуют .

1. Функция непрерывна существуют .

2. Если , то функция является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.

3. Если же , то оба значения не могут достигаться в концевых точках, т.к. и . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1

Замечания:

1. Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).

2. Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них.

Примеры:

1. Отбросим условие непрерывности. Рассмотрим функцию на отрезке . На интервале производная всюду равна 1.

2. Отбросим условие дифференцируемости. Рассмотрим функцию . В точке , но 0 - точка минимума.

3. Отбросим условие равности функции на концах отрезка. Рассмотрим функцию на отрезке . При этом производная всюду на интервале равна 1 .

Теорема 17.3 (Первое следствие теоремы Ролля)