КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определенный интеграл, его геометрический смысл.Определенный интеграл: y=f(x), x=a, x=b, Ox Sn≈S, Sn→S, n→∞
Фигура ABCD, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), с 2-х боковых сторон прямыми х=а, х=в, а снизу-осью Ох называется криволинейной трапецией. Отрезок ab-основание криволинейной трапеции Сумма площадей n-прямоугольников, составляющая S криволинейной трапеции. Сумма площадей этих прямоугольников-определенный интеграл
S=a∫b f(x)dx Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.). Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z1, z2, ..., zN. Составим для f(x) интегральную сумму σ. Пусть из точек ξ0, ξ1, ..., ξn-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в суммеσ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(zi) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно, | σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ, откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл
существует и равен нулю. Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:
Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл
не существует. В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.
|