Доказательство. Обозначим за n целую часть отношения

1. Докажем сначала, что .

Обозначим за n целую часть отношения . . Тогда справедливо неравенство: . Перепишем его в виде . Тогда . При этом . . В полученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к. .

Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” 5.3. получаем, что .

2. Докажем теперь, что .

Обозначим . Получаем, что . Выражение при . Обозначив получаем, что . Тогда . Полученное выражение стремится к e при , т.к. . Теорема доказана.

Имеют место два замечательных предела:

1)

2)

Односторонние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).