Условия существования предела функции комплексного переменного

Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке существовал предел функции , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовали пределы двух функций действительных переменных , где ; при этом имеет место равенство

18. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .

Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,

Ответ.