Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию .

Рассмотрим вспомогательную функцию .

1. Эта функция непрерывна, т.к. , - непрерывна.

2. Данная функция имеет производную , так как для любого .

3. Значения на концах равны: , .

Эти 3 рассуждения удовлетворяют условию теоремы Ролля, следовательно, . Таким образом, , .

Формулировки теоремы:

1. Обозначая , где . ;

2. Обозначая , получаем , или . Обозначая также , получаем , где также .

Данная теорема называется также теоремой о конечных приращениях.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа . То есть существует такая точка c, что касательная к графику в этой точке параллальна хорде.

Теорема 18.2 (Первое следствие теоремы Лагранжа)