Правила Лопиталя

Теорема 21.1

Пусть функции определены в проколотой окрестности , и их пределы ; существуют их производные в , причем , и существует предел отношения производных, равный K (этот предел может быть и бесконечным). Тогда существует предел отношения функций, также равный K, т.е. .

Доказательство.

Положим по определению (доопределим или переопределим) . Получим, что . Значит, они непрерывны и в проколотой окрестности точки : , так как . , иначе по теореме Лагранжа , и , что противоречит условию. Значит, можно применить теорему Коши: . Так как , при также . Значит, .

Данное правило раскрывает неопределенность в конечной точке .

Теорема 21.2

Пусть существуют в окрестности бесконечности, причем , пределы , и существует . Тогда существует . (Бесконечность может быть любой).