![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дискретное преобразование Фурье.Процесс перехода от прямого преобразования Фурье (ПФ) к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) поясняет рис.1. Предположим, нам дан некоторый ограниченный по времени сигнал φ(t)—рис.1,а.Необходимо найти спектр этого сигнала Ф(f)—рис.1,6. Проведем анализ сигнала φ(t) по его дискретным значениям, отстоящим друг от друга на время Т2 (рис.1,в). Подобный дискретный сигнал можно описать соотношением
где —целое число, а α — коэффициент (в общем случае нецелый), показывающий положение нулевого δ - импульса на временной оси.
Дискретизация сигнала приводит к тому, что амплитудный спектр сигнала бесконечно повторяется на частотной оси с периодом, равным f2 = 1/Т2. В частности, когда α — целое число, спектр дискретизированного сигнала может выглядеть так, как показано на рис.1, г. Для того чтобы дискретизация не привела к потере информации, требуется согласно теоремы Котельникова выбирать интервал дискретизации Т2 меньшим полупериода наивысшей гармоники спектра fм Ограниченный по времени сигнал имеет не ограниченный по частоте спектр. Так что в данном случае fм = ∞ и условие (1.2) принципиально не может быть выполнено. Однако спектр ограниченного по времени физического сигнала убывает с ростом модуля частоты, поэтому можно указать частоту fмε, выше которой амплитуда , функции Ф(f) пренебрежимо мала. Если выбрать Т2<l/(2fмε), то тогда в диапазоне -0,5f2<f<0,5/f2 спектр Фд(f) дискретизированного сигнала будет приближенно равен спектру Ф(f) непрерывного сигнала Фд(f) ≈ Ф(f) (1.3) Итак, мы имеем дискретную непериодическую функцию φд(t) во временной области (рис.1,в) и непрерывную периодическую Фд(f) —в частотной (рис.1,г). Для того чтобы получить также и в частотной области дискретную последовательность, продолжим периодически сигнал φд(t) в обе стороны по временной оси (рис.1,д). Установим период T1 полученного таким образом сигнала φдр(t) равным целому числу интервалов дискретизации: T1=NT2. (1.4) Кроме того, придадим коэффициенту α, входящему в (1.1), такое значение, чтобы номера отсчетов функции φд(t) изменялись от 0 до N—1. Тогда равенство (1.1) можно переписать следующим образом:
Дискретному периодическому сигналу φдр(t) соответствует дискретный периодический спектр Фдр(f) — рис.1, е. Преобразование Фурье обратимо. Поэтому каждому свойству прямого преобразования соответствует дуальное свойство обратного преобразования. Это еще раз можно увидеть на примере кривых, показанных на рис.1. Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, периодическому сигналу - дискретный спектр, а если сигнал дискретный и периодический, то его спектр будет периодическим и дискретным. В соответствии с формулой спектра периодического сигнала можем записать
Входящая в правую часть этого равенства функция Фд(kf1) определяется исходя из формулы для коэффициента ряда Фурье:
При выводе этой формулы учитывались равенства (1.4) и (1.5). Формула (1.7) представляет собой прямое дискретное преобразование Фурье. Из него следует, что площади δ-импульсов спектра Фдр(f) могут быть найдены путем суммирования N отсчетов сигнала φ(t) с соответствующими весами. Таким образом, ограниченный по времени (t0<t<t0+T1) сигнал φ(t) и его спектр Ф(f) cвязаны между собой обычным преобразованием Фурье: Отсчеты функции φ(t) и спектра Ф(f) (при условии, что приближенное равенство (1.3) выполняется достаточно точно) связаны в свою очередь парой дискретных преобразований Фурье
В равенства (1.8) входят отсчеты спектральной плотности Ф(kf1). Перейдем к значениям спектра, соответствующим коэффициентам ряда Фурье для периодического сигнала Сk=f1Ф(kf1). Введем также новые обозначения, обычно используемые в формулах ДПФ: а(n) = φ(nT2 + αT2) и b(k)=Сk = f1Ф(kf1). Тогда из (1.8) получим более компактные соотношения:
Часто начальный отсчёт сигнала (n=0) совмещают с начальным моментом времени (t=0). В этом случае α=0 и формулы прямого и обратного дискретных преобразований Фурье (ДПФ и ОДПФ) несколько упрощаются и приобретают почти симметричный вид:
Несимметрия, как видно, состоит только в разных знаках показателей степени экспонент и в коэффициенте 1/N. Однако, следует заметить, что этот коэффициент не имеет принципиального значения: Изменяя содержание величин, обозначаемых символами а(п) и b(k), можно изменять соотношения (1.9) и (1.10). Часто, например, приводит формулы ДПФ, в которых коэффициент 1/N входит в обратное, а не прямое (как у нас) дискретное преобразование Фурье.
|