Дискретное преобразование Фурье.

Процесс перехода от прямого преобразования Фурье (ПФ) к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) поясняет рис.1. Предположим, нам дан некоторый ограниченный по времени сигнал φ(t)—рис.1,а.Необходимо найти спектр этого сигнала Ф(f)—рис.1,6. Проведем ана­лиз сигнала φ(t) по его дискретным значениям, от­стоящим друг от друга на время Т₂ (рис.1,в).

Подобный дискретный сигнал можно описать соотношением

(1.1)

где —целое число, а α — коэффициент (в общем случае нецелый), показывающий положение нулевого δ - импульса на временной оси.

Рис.1. Процесс перехода от непрерывного к дискретному преобразованию Фурье

Дискретизация сигнала приводит к тому, что амплитудный спектр сигнала бесконечно повторяется на частотной оси с периодом, равным f₂ = 1/Т₂. В частности, когда α — целое число, спектр дискретизированного сигнала может выглядеть так, как показано на рис.1, г.

Для того чтобы дискретизация не привела к по­тере информации, требуется согласно теоремы Котельникова выбирать интервал дискретизации Т₂ меньшим полупериода наивысшей гармоники спектра fм (1.2)

Ограниченный по времени сигнал имеет не ограниченный по частоте спектр. Так что в данном случае fм = ∞ и условие (1.2) принципиально не может быть выполнено. Одна­ко спектр ограниченного по времени физического сиг­нала убывает с ростом модуля частоты, поэтому можно указать частоту fмε, выше которой амплитуда , функции Ф(f) пренебрежимо мала. Если выбрать Т₂<l/(2fмε), то тогда в диапазоне -0,5f₂<f<0,5/f₂ спектр Ф_д(f) дискретизированного сигнала будет приближенно равен спектру Ф(f) непрерывного сигнала Ф_д(f) ≈ Ф(f) (1.3)

Итак, мы имеем дискретную непериодическую функцию φ_д(t) во временной области (рис.1,в) и непрерывную периодическую Фд(f) —в частотной (рис.1,г). Для того чтобы получить также и в ча­стотной области дискретную последовательность, про­должим периодически сигнал φ_д(t) в обе стороны по временной оси (рис.1,д). Установим период T₁ по­лученного таким образом сигнала φ_др(t) равным це­лому числу интервалов дискретизации: T₁=NT₂. (1.4)

Кроме того, придадим коэффициенту α, входя­щему в (1.1), такое значение, чтобы номера отсчетов функции φ_д(t) изменялись от 0 до N—1. Тогда равенство (1.1) можно переписать следующим образом:

(1.5)

Дискретному периодическому сигналу φ_др(t) со­ответствует дискретный периодический спектр Фдр(f) — рис.1, е.

Преобразование Фурье обратимо. Поэтому каж­дому свойству прямого преобразования соответствует дуальное свойство обратного преобразования. Это еще раз можно увидеть на примере кривых, показан­ных на рис.1. Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, периодическому сигналу - дискретный спектр, а если сигнал дискретный и периодический, то его спектр будет периодическим и дискретным.

В соответствии с формулой спектра периодического сигнала можем записать

(1.6)

Входящая в правую часть этого равенства функ­ция Ф_д(kf₁) определяется исходя из формулы для коэффициента ряда Фурье:

(1.7)

При выводе этой формулы учитывались равенства (1.4) и (1.5).

Формула (1.7) представляет собой прямое дискрет­ное преобразование Фурье. Из него следует, что пло­щади δ-импульсов спектра Ф_др(f) могут быть найдены путем суммирования N отсчетов сигнала φ(t) с со­ответствующими весами.

Таким образом, ограниченный по времени (t₀<t<t₀+T₁) сигнал φ(t) и его спектр Ф(f) cвязаны между собой обычным преобразованием Фурье:

Отсчеты функции φ(t) и спектра Ф(f) (при усло­вии, что приближенное равенство (1.3) выполняется достаточно точно) связаны в свою очередь парой ди­скретных преобразований Фурье

(1.8)

В равенства (1.8) входят отсчеты спектраль­ной плотности Ф(kf₁). Перейдем к значениям спектра, соответствующим коэффициентам ряда Фурье для пе­риодического сигнала С_k=f₁Ф(kf₁).

Введем также новые обозначения, обычно используемые в формулах ДПФ:

а(n) = φ(nT₂ + αT₂) и b(k)=С_k = f1Ф(kf₁).

Тогда из (1.8) получим более компактные со­отношения:

(1.9)

Часто начальный отсчёт сигнала (n=0) совме­щают с начальным моментом времени (t=0). В этом случае α=0 и формулы прямого и обратного ди­скретных преобразований Фурье (ДПФ и ОДПФ) не­сколько упрощаются и приобретают почти симмет­ричный вид:

(1.10)

Несимметрия, как видно, состоит только в разных знаках показателей степени экспонент и в коэффи­циенте 1/N. Однако, следует заметить, что этот коэффи­циент не имеет принципиального значения: Изменяя содержание величин, обозначаемых символами а(п) и b(k), можно изменять соотношения (1.9) и (1.10). Часто, например, приводит формулы ДПФ, в кото­рых коэффициент 1/N входит в обратное, а не пря­мое (как у нас) дискретное преобразование Фурье.