Алгоритм линейной цифровой фильтрации. Условие физической реализуемости.

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал х(t) таким образом, что на ее выходе возникает колебание y(t) равное свертке функции х(t) и импульсной характеристики h(t):

Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дис­кретная система (физическое устройство или программа для компьютера), которая преобразует последовательность чи­словых отсчетов входного сигнала в последовательность отсчетов выходного сигнала:

(2.126)

или сокращенно

Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т. е. из соответствий

следует, что

(2.127)

при любых коэффициентах .

Для того чтобы обобщить формулу (2.125) на случай дис­кретных сигналов, вводят понятие импульсной характеристики ЦФ. По определению, она представляет собой дискретный сигнал {h_k}, который является реакцией ЦФ на «единичный импульс» :

(2.128)

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискрети­зации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

(2.129)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим, каким образом из свойств линейности и ста­ционарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть — неко­торый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной харак­теристикой. Используя соотношения (2.127) и (2.129), можно записать т-й отсчет выходного сигнала

Формула (2.130), играющая ведущую роль в теории линей­ной цифровой фильтрации, показывает, что выходная после­довательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих зна­чений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной харак­теристики. Иными словами, ЦФ обладает некоторой «па­мятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют лишь физически реа­лизуемые ЦФ, импульсная характеристика которых не может стать отличной от нуля в отсчетных точках, предшест­вующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемых фильтров коэффициенты обращаются в нуль и суммирование в (2.130) можно распро­странить на все положительные значения индекса k: