Рекурсивный ЦФ. Канонические схемы ЦФ.

Конструкция РЦФ отображается в z-образе передаточной функции фильтра в виде отношения двух многочленов:

H(z) = H₀+H₁z+H₂z²+...= B(z)/[1+A(z)], (9.1.1)

где: B(z) = B₀+B₁z+B₂z²+ ... +B_Nz^N, A(z) = A₁z+A₂z²+ ... +A_Mz^M.

Естественно, что переход на РЦФ имеет смысл только в том случае, если степень многочленов A(z) и B(z) во много раз меньше степени многочлена H(z) прямого z-преобразования импульсной реакции фильтра. При z-образе входных данных Х(z), на выходе РЦФ имеем:

Y(z) = H(z)Х(z) = X(z)B(z)/[1+A(z)], Y(z)[1+A(z)] = Y(z)+Y(z)A(z) = X(z)B(z), Y(z) = X(z)B(z)-Y(z)A(z). (9.1.2)

При обратном z-преобразовании выражения (9.1.2) получаем уравнение рекурсивной цифровой фильтрации: y_k = b_n x_k-n – a_m y_k-m. (9.1.3)

Рекурсивная фильтрация требует задания начальных условий как по x_k, так и по y_k при k<0. Схема рекурсивной фильтрации приведена на рис. 9.1.1.

Рис. 9.1.1. Схема РЦФ.

Как следует из выражения (9.1.3), при вычислении значения у_k текущей точки используются предыдущие вычисленные значения y_k-m, (m>0), что и определяет принцип рекурсии - фильтрации с обратной связью. Другой особенностью РЦФ является их односторонность и физическая реализуемость в реальном масштабе времени. При машинной обработке данных многочлен B(z) передаточной функции фильтра может реализоваться и в двухстороннем варианте.

Одно из важнейших свойств рекурсивных фильтров - возможность получения узких переходных зон при конструировании частотных фильтров, так как функция H(z) фильтра может резко изменяться при приближении к нулю (но не нулевого) многочлена в знаменателе (9.1.1).

Рекурсивная фильтрация требует более высокой точности вычислений по сравнению с нерекурсивной, т.к. использование предыдущих выходных отсчетов для текущих вычислений может приводить к накапливанию ошибок. Особое значение это имеет для фильтров с передаточными функциями высоких порядков (M>3), которые чувствительны к эффектам конечной разрядности. Такие фильтры, как правило, разбиваются на фрагменты – звенья второго и/или первого порядка, и реализуются в каскадной или в параллельной форме.

Рис. 9.1.2. Каскадная форма РЦФ.

Каскадная форма. Находятся корни многочленов А(z), B(z) и производится разложение H(z):

H(z) = , (9.1.4)

где G - масштабный множитель. Это позволяет применять каскадное построение фильтров, показанное на рис. 9.1.2, в котором:

H(z) = G H₁(z) H₂(z) ..... H_N(z),

H_n(z) = B_n(z)/A_n(z). (9.1.5)

Функции А_n(z) и B_n(z) обычно представляются в виде биквадратных блоков (фильтров второго порядка):

B_n(z) = b_n.0 + b_n.1 z + b_n.2 z², A_n(z) = 1 + a_n.1 z + a_n.2 z².

В принципе, порядок расположения блоков в каскадной форме, равно как и порядок множителей B(z) и A(z) в числителе и знаменателе функции (9.1.4), значения не имеет. Однако следует учитывать, что полюса знаменателя, близкие к единичной окружности на z-плоскости (близкие по модулю к 1), формируют большие коэффициенты усиления на соответствующих частотах (в блоках, в которых они находятся), и при обработке сигналов могут вызывать переполнение разрядов числовых ячеек этих блоков, если их разрядность ограничена. С учетом этого при формировании каскадов желательно объединять в пары B_i(z)/A_i(z) нули и полюса, близкие по модулю к 1, и располагать их в концевые блоки каскадной схемы. Такое комбинирование полезно также с позиций наилучшего отношения сигнал/шум в выходном сигнале.

Рис. 9.1.3. Параллельная форма РЦФ.

Параллельная форма. Функция H(z) разлагается на элементарные дроби:

H(z) = H_o(z) B_n(z) / [1+A_n(z)],

что дает параллельную форму фильтра, показанную на рис. 9.1.3. Параллельная конструкция фильтра применяется реже каскадной, хотя это может объясняться и тем, что в аналоговых фильтрах, исторически предшествовавших цифровым фильтрам, теоретическая база анализа и синтеза каскадных рекурсивных фильтров получила детальное развитие.

Стандартные блоки рекурсивных фильтров обычно реализуются биквадратными звеньями в канонической форме, которая имеет минимальное количество элементов задержки. Уравнения звена:

v(k) = x(k) – a(n) v(k-n), y(k) = b(n) v(k-n). (9.1.6)

Функциональная схема реализации звена приведена на рис. 9.1.4.

Вторая форма реализации – по уравнению (9.1.5) в прямой форме, приведенная на рис. 9.1.5:

y(k)= b(n)x(k-n) – a(n)y(k-n). (9.1.7)

Рис. 9.1.4. Каноническая форма Рис. 9.1.5. Прямая форма

При определенных условиях прямая форма лучше канонической с точки зрения шумовых характеристик.

При нулевых значениях коэффициентов a₂ и b₂ звенья второго порядка превращаются в звенья первого порядка.

Устранение сдвига фазы. Рекурсивные фильтры являются фазосдвигающими фильтрами. Если требуется обеспечить нулевой фазовый сдвиг, то операция фильтрации производится дважды, в прямом и обратном направлении числовой последовательности массива данных, при этом амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтрации будет равна |H(w)|² фильтра, что необходимо учитывать при конструировании фильтра.