Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения

аналоговой цепи. К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием y(t) и входным колебанием x(t) устанавливается дифференциальным уравнением

(2.142)

Предположим, что шаг дискретизации равен Dt и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов {у₁} и {х₁}. Если в формуле заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратиться в разностное уравнение . (2.143)

Перегруппировав слагаемые, получим: (2.144)

Разностное уравнение задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую колебательную систему и называется цифровым резонатором. При соответствующем выборе коэффициентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно-избирательного фильтра, подобного колебательному контуру.

Синтез ЦФ методом инвариантных частотных характеристик.

Метод инвариантных частотных характеристик.

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации.

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω_а, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω_ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K_а(р) - передаточная функция аналогового фильтра, задаваемого дробно-рациональным выражением по степеням p. Если воспользоваться связью между переменными z и p ,то можно записать:

. (2.145)

С помощью этого закона связи между p и z нельзя получить физически реализуемую системную функцию фильтра, так как подстановка в выражение K_а(р) даст системную функцию, не выражающуюся в виде частного двух многочленов. Поэтому для синтезов фильтров нижних частот получила распространение связь вида

, (2.146)

которая также переводит точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости p. Тогда

, (2.147)

откуда вытекает соотношение между частотными переменными w аналоговой и цифровой систем:

. (2.148)

Если частота дискретизации достаточно велика (w_цT<<1), то, как легко видно из формулы (2.147), w_а»w_ц. Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра.

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции K_а(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (2.145). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.