Системы и совокупности уравнений с одной переменной

Пусть даны уравнения f₁(x) = 0, f₂(x) = 0, …, f_n(x) = 0. Если требуется найти все значения х , которые удовлетворяют всем заданным уравнениям одновременно, то говорят, что дана система n уравнений. Для обозначения системы используется фигурная скобка:

f₁(x) = 0,

f₂(x) = 0,

……….

f_n(x) = 0.

Другими слова системе n уравнений f₁(x) = 0, f₂(x) = 0, …, f_n(x) = 0 – есть конъюнкция уравнений f₁(x) = 0 f₂(x) = 0 … f_n(x) = 0.

Рассмотрим уравнение (х² – 1)² + ((х – 1)(х – 2))² = 0. Ясно, что (х² – 1)² 0 и ((х – 1)(х – 2))² 0, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения (х² – 1)² = 0 и ((х – 1)(х – 2))² = 0, а затем найти их общие корни. Корнями уравнения (х² – 1)² = 0 служат числа 1 и – 1, а корнями уравнения ((х – 1)(х – 2))² = 0 – числа 1 и 2. Общим является число 1 – это корень исходного уравнения.

Если требуется найти все значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных уравнений, то говорят, что дана совокупность n уравнений. Для обозначения совокупности используется квадратная скобка:

f₁(x) = 0,

f₂(x) = 0,

……….

f_n(x) = 0.

Другими словами, совокупность n уравнений f₁(x) = 0, f₂(x) = 0, …, f_n(x) = 0 – есть дизъюнкция уравнений f₁(x) = 0 f₂(x) = 0 … f_n(x) = 0.

Рассмотрим уравнение (х² – 1)(х² – 4) = 0. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения х² – 1 = 0 и х² – 4 = 0, а затем объединить их корни. Корнями первого уравнения являются числа 1 и – 1, а корнями второго – числа 2 и – 2.Значит, 1, – 1, 2, – 2 – корни исходного уравнения.