Системы и совокупности уравнений с двумя переменными

Пусть даны два уравнения с двумя переменными f(х, у) = 0, х, у Х и g(х, у)= 0, х, у Х. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений, которую записывают в виде:

f(х, у) = 0, х, у Х,

g(х, у)= 0, х, у Х.

или в виде конъюнкции уравнений f(х, у) = 0 g(х, у)= 0.

Каждая пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если их множества решений совпадают.

Теорема.Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением ему равносильным, то полученная система будет равносильна данной.

Следствие.Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система равносильная данной.

Теорема. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна данной.