Множество решений уравнения с двумя переменными

Определение.Пусть f(х, у) – выражения с двумя переменными на множестве Х₁ Y₁ и g(х, у) – также выражение с двумя переменными, определенное на множестве Х₂ Y₂.

Предикат вида f(х, у) = g(х, у), определенный на множестве Х₁ Y₁ Х₂ Y₂, называется уравнением с двумя переменными. Областью определения уравнения с двумя переменными является Х₁ Y₁ Х₂ Y₂.

Пара значений переменных обращающая уравнение с двумя переменными в верное числовое равенство, называется множеством решения уравнения с двумя переменными.

Например, решениями уравнения 2х + у = 5 являются пары (1; 4); (– 2; 9); (2; 1). Это уравнение имеет и другие решения. Как правило уравнения с двумя переменными имеют бесконечное множество решений, поэтому его удобно изображать на координатной плоскости, где все решения уравнения изображают точками на координатной плоскости и получают некоторое множество точек, которые называют графиком уравнения f(х, у) = 0. Так, графиком уравнения у + х = 0 является прямая у = – х; графиком уравнения х² – у + 4 = 0 является парабола у = х² + 4.

Для нахождения решений уравнения 2х + у = 5 удобно выразить одну переменную через другую, например, у через х, получив уравнение у = – 2х + 5. Выбрав произвольное значение х, вычисляют соответствующее значение у.

Например, если х = – 4, то у = – 2 (– 4) + 5 = 13. Следовательно, пара (– 4; 13) является решением данного уравнения; если х = 7, то у = – 2 · 7 + 5 = – 9, значит, пара (7; – 9) так же является решением заданного уравнения и т.д.

Множество всех решений уравнения f(х, у) = g(х, у) называют множеством решений уравнения.

Для уравнений с двумя переменными справедливы утверждения аналогичные утверждениям для уравнений с одной переменной.

Уравнениями с двумя переменными являются уравнения вида: Ах + Ву + С = 0, А 0, В 0 – общее уравнение прямой; у = kх + в, k = tg – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, в– ордината точки пересечения прямой с осью Оу; уравнение окружности вида х² + у² = R² с центром в начале координат и радиусом R; уравнение окружности с центром в точке А(а; в) и радиусом R имеет вид: (х – а)² + (у – в)² = R² и др.