Основные определения и утверждения о равносильности уравнений

Определение. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) называется пересечение областей существования функций у = f(х) и у = g(х), то есть множество всех числовых значений неизвестного х, при каждом из которых имеет смысл (определены) и левая и правая части уравнения.

Всякое число х из ОДЗ уравнения называется допустимым значением для данного уравнения.

Определение. Пусть даны два уравнения f₁(х) = g₁(х) и f₂(х) = g₂(х), заданные на множестве Х.

Уравнение f₁(х) = g₁(х) (1), заданное на множестве Х, называется следствием уравнения f₂(х) = g₂(х)(2). Заданного на множестве Х, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Определение. Уравнения f₁(х) = g₁(х) и f₂(х) = g₂(х), определенные на множестве Х, называются равносильными на всей области допустимых значений, если уравнение f₁(х) = g₁(х) является следствием уравнения f₂(х) = g₂(х) и уравнение f₂(х) = g₂(х) является следствием уравнения f₁(х) = g₁(х).

Обозначают: f₁(х) = g₁(х) f₂(х) = g₂(х), х Х.

Определение. Пусть даны уравнения f₁(х) = g₁(х) и f₂(х) = g₂(х), заданные на множестве Х и некоторое множество М Х.

Если любой корень первого уравнения из множества М является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то такие два уравнения называются равносильными на множестве М.

Замена одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве М, называется равносильным переходом на множестве М от одного уравнения к другому.

Например, для уравнения х + 4= 0 и (х² + 1)(х + 4) = 0 равносильны на множестве R, так как каждое из них имеет корень число х = – 4.

Рассмотрим уравнение = 1 и х² = 1.

Уравнение = 1 имеет только один корень число х = 1, которое является и корнем уравнения х² = 1. Поэтому уравнение х² = 1 является следствием уравнения = 1.

Но уравнение х² = 1 имеет два корня: х₁ = 1 и х₂ = – 1, которое не только не является корнем уравнения = 1, но даже не входит в его ОДЗ. Таким образом, данные уравнения не являются равносильными на множестве R. Но эти уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения, то есть на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве каждое из них имеет только один корень – число 1.