Основные свойства числовых неравенств

Теорема. Для любых числовых выражений А, В, С и Д справедливы следующие свойства:

1. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же выражение, то получим верное неравенство, то есть А > В А + С > В + С и А < В А + С < В + С.

Доказательство. Если А > В А – В > 0 (А – В) + (С – С) > 0 по коммутативности и ассоциативности сложения имеем: (А + С) – (В + С) > 0 А + С > В + С.

2. Свойство обратное предыдущему. Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же выражение, то получим верное неравенство, то есть

А + С > В + С А > В

А + С < В + С А < В.

Доказательство. По условию А + С > В + С. Используя предыдущее свойство, прибавим к обеим частям данного неравенства число – С, получим:

(А + С) + (– С) > (В + С) + (– С). Откуда по ассоциативности сложения, имеем:

А + (С + (– С)) > В + (С + (– С)), откуда А + 0 > В + 0 А > В.

Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

3. Если почленно сложить верные неравенства, то получим верное неравенство, то есть А > В С > Д А + С > В + Д и А < В С < Д А + С < В + Д.

Доказательство. По свойству 1 имеем: А > В А + С > В + С и С > Д В + С > В + Д, откуда по свойству транзитивности отношения «больше» получим: А + С > В + Д.

Свойство А < В С < Д А + С < В + Д доказывается аналогично.

4. Верные неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которого вычитаем, то есть

А > В С < Д А – С > В – Д и А < В С > Д А – С < С – Д.

Доказательство. По определению истинных числовых неравенств С < Д Д > С, а по свойству 3, если А > В Д > С А + Д > В + С, откуда по следствию свойства 2 данной теоремы, любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Следовательно, поэтому из А + Д > В + С имеем: А – С > В – Д.

Таким образом, если А > В С < Д А – С > В – Д.

Свойство А < В С > Д А – С < С – Д доказывается аналогично.

5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное неравенство, то есть

А > В C > 0 А × С > В × С и А < В С > 0 А × С < В × С.

Доказательство. Из того, что А > В А – В > 0. Имеем: А – В > 0 С > 0 по правилу знаков при умножении (А – В) С > 0 по дистрибутивности умножения относительно вычитания, имеем: АС – ВС > 0, откуда по определению отношения «больше» АС > ВС.

Свойство А < В С > 0 А × С < В × С доказывается аналогично.

6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство, то есть

А > В С < 0 АС < ВС и А < В С < 0 АС > ВС.

Доказывается аналогично свойству 5.

7. Свойство, обратное свойству 5. Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное неравенство, то есть

АС > ВС С > 0 А > В и АС < ВС С > 0 А < В.

Доказательство. Имеем: C > 0 > 0 по свойству 5, получим: АС > ВС > 0 (АС) × >(ВС) × по ассоциативности умножения имеем:

А × (С × ) > В × (С × ) А × 1 > В × 1 А >В.

Свойство АС < ВС С > 0 А < В доказывается аналогично.

8. Свойство, обратное свойству 6. Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство, то есть

АС > ВС С < 0 А < В и АС < ВС С < 0 А > В.

Доказывается аналогично свойству 7.

9. Если почленно перемножить верные неравенства одинакового смысла с отрицательными частями, изменив знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство, то есть

А < В < 0 С < Д < 0 АС > ВД и 0 > А > В 0 > С > Д АС < ВД.

10. Если почленно перемножить верные неравенства одинакового смысла с положительными частями, не меняя знак неравенства, то получим верное неравенство, то есть

А > В > 0 C > Д > 0 АС > ВД и 0 < А < В 0 < C < Д АС < ВД.

11. Если почленно разделить верное неравенство противоположного смысла с положительными частями, сохранив знак первого неравенства, то получим верное неравенство, то есть

А > В >0 0 < C < Д и А < В < 0 C > Д > 0 .