Числовые равенства. Свойства числовых равенств

Математические выражения

Понятие числового выражения

Выражения вида: 3 × 4 + (6 – 2), 18 × 3 – 9, (6 + 3) : 2 и др. в математике называют числовыми выражениями. Числовые выражения состоят из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Но запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий и скобок может вообще не иметь смысла. Например выражение 5 + 8 (– 2 ×) 4 не имеет смысла.

Числовое выражение в общем виде можно определить так:

1. Каждое число является числовым выражением.

2. Если А и В – числовые выражения, то (А) + (В); (А) – (В); (А) × (В): (А) : (В) тоже являются числовыми выражениями.

Например, 2 + к – не числовое выражение, так как к – не число; 2 × 3 + 18 : 9 – числовое выражение.

Числовое выражение задает программу, которую нужно выполнить над числами. Если в числовом выражении можно выполнить все указанные в нем действия, то получено в результате действительное число называют числовым значением данного числового выражения.

Определение. Число, полученное в результате выполнения всех указанных в числовом выражении арифметических действий, называют значением числового выражения.

Например, 3 × 4 + 9 : 3 = 15.

Если в числовом выражении не все указанные в нем действия выполнимы, то о таком числовом выражении говорят, что оно не имеет смысла.

Например, числовое выражение (5 – 3) : 2 – 8 : 4 – не имеет смысла.

Таким образом, любое числовое выражение либо имеет одно числовое значение, либо лишено смысла.

Определение. Два числовых выражения называются равными, если равны их числовые значения.

Определение. Запись а = в называют тождеством в том случае, если а и в равные числовые выражения.

Числовые равенства. Свойства числовых равенств

Определение. Два числовых выражения А и В, соединенных знаком равенства («=»), называют числовым равенством.

Теорема. Отношение равенства на множестве числовых выражений обладает свойствами:

1. Рефлексивность. ( А)[А = А].

2. Симметричность. ( А, В)[А = В В = А].

3. транзитивность ( А, В, С)[А = В В = С А = С].

4. Для любых числовых выражений А и В справедливо утверждение:

А = В А – В = 0.

Теорема. Для любых числовых выражений А, В, С, Д, имеющих смысл, справедливы свойства:

1. Если (А) = (В) – истинное числовое равенство, и (р) – некоторое числовое выражение, то А + р = В + р – истинное числовое равенство (монотонность сложения относительно отношения «равно»).

Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, то получим также истинное числовое равенство.

2. Если (А) = (В) – истинное числовое равенство и (р) – числовое выражение, то А × р = В × р – – истинное числовое равенство.

Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так же истинное числовое равенство.

3. Если (А) = (В) – истинное числовое равенство и (р) – числовое выражение, то А : р = В : р – истинное числовое равенство.

Доказательство. А р ( t₁)[А = р t₁],

В р ( t₂)[В = р t₂],

так как А = В, то р t₁ = р t₂ t₁ = t₂ (А) : р = (В) : р.

Если обе части истинного числового равенства разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим истинное числовое равенство.

4. Если (А) = (В) – истинное числовое равенство и р – числовое выражение, то А – р = В – р – истинное числовое равенство.

Доказательство. А – р = t₁ В – р = t₂,

А = t₁ + р В = t₂ + р,

так как А = В, то t₁ + р = t₂ + р t₁ = t₂ А – р = В – р.

5. Если (А) = (В) и h = р – истинные числовые равенства, то А + h = р + В – истинное числовое равенство.

Доказательство. Так как А = В h = р – истинные числовые равенства, то А + h = В + р h + В = р + В А + h = р + В – истинное числовое равенство.

Таким образом, верные числовые равенства можно параллельно складывать и вычитать.

Если почленно сложить истинные числовые равенства, то получится верное числовое равенство.

Следствие. В истинном числовом равенства можно переносить числовые выражения из одной части в другую, меняя при этом знак на противоположный, получим при этом истинное числовое равенство.

Отношение равенства числовых выражений является отношением эквивалентности. Таким образом, множество всех числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящее из выражений, имеющих одно и то же числовое значение. Так, в один класс эквивалентности попадают числовые выражения 15 : 3; 9 – 4; 2 × 3 – 1; 15 × 3 – 80 : 2 и т.д. – все они имеют значение равное 5.