Понятие числового неравенства. Свойства числовых неравенств

Пусть А и В – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложения: «А > В» или «А < В», которые называют числовыми неравенствами.

Например, соединив выражения 6 + 2 и 13 – 7 знаком «>», получим истинное числовое неравенство «6 + 2 > 13 – 7». Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство «6 + 2 < 13 – 7».

Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное.

Теорема. Отношения «больше» («меньше») на множестве числовых выражений обладают следующими свойствами:

1. Антирефлексивность. Любое числовое выражение не может быть меньше (больше) самого себя, то есть: ( А)(А < А)( )/

2. Антисимметричность. Если числовое выражение А меньше (больше) числового выражения В, то числовое выражение В не меньше (не больше) числового выражения А, то есть: ( А, В)[А < B ] или (А > B ).

3. Транзитивность. Если числовое выражение А меньше (больше) числового выражения В, а числовое выражение В меньше (больше) числового выражения С, то числовое выражение А меньше (больше) числового выражения А, то есть

( А, В, С)[А ].

4. Связность. Для любых числовых выражений А и В выполняется хотя бы одно из соотношений: А = В, А < В, А > В.

5. Для любых числовых выражений А и В справедливо утверждение: А > В А – В > 0.