Краткие исторические сведения

Развитие алгебры, как теоретической науки начинается в древней Греции. Поскольку у греческих математиков не было общего понятия действительного числа, они развивали геометрическую алгебру. Например, вместо формулы (а + b)² = a² + b² + 2ab они говорили, что площадь квадрата, построенного на отрезке, равном сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на слагаемых отрезках, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки. Выражения вида а³, аb², аbс трактовались как объемы тел. Лишь к IIIв. н. э. у Диофанта Александрийскогопоявляются зачатки буквенной символики.

После крушения античной цивилизации центр математической мысли переместился в арабские государства. В странах, где в это время господствовала радикала являются скорее данью традиции. Степени с отрицательными показателями ввел английский математик Джон Уоллис (Валлис) (1616 – 1703).

Квадратный корень раньше называли «стороной», следуя традиции древнегреческих математиков, которые вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону по данной площади квадрата». В латинском языке «сторона», «бок», «корень» выражаются одним и тем же словом – radix. От этого слова произошли термины «радикал» и «корень», которые вошли в математику в XII в. после перевода «Начал» Евклидас арабского на латынь.

Знак корня ввел в 1525 г. автор первого учебника по алгебре на немецком языке, учитель математики в Вене Криштоф Рудольф (1500 – 1545). Он обозначил корень квадратный через . Затем в 1637 г. Р. Декарт(1596 – 1650) объединил знак корня с горизонтальной чертой – знаком скобки, и получился современный знак « ». Он вошел в употребление лишь с начала XVI в. Знаки « », « » ввел И. Ньютон(1643 – 1727), усовершенствовав обозначения Валлиса, который писал ³27, ⁴243 вместо наших , (книга «Arithmetic imiversalis» Ньютона,написанная между 1673 и 1683 г., вышла в 1707 г.). В публикациях 1720 г. уже повсеместно употребляются ньютоновские обозначения.

Термин «плюс» произошел от слова plus –«больше». Первое употребление слова plus как обозначения действия сложения найдено в итальянской алгебре XIV в. Сначала действие обозначали, как уже отмечалось, первой буквой слова р. Современные знаки «+» и «–»появились в Германии в последнее десятилетие XV в. Возникновение этих знаков не совсем ясно. Знак «+» происходит, возможно, от сокращенной записи еt, то есть «и». Впрочем, может быть, он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой –, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+». Вместе с тем и после первого появления этих знаков на страницах математических книг еще более века в роли плюса и минуса выступали самые различные значки.

До появления специального знака слово «равняется» писали на разных языках, затем «унифицировали» математический знак и в научный обиход вошло aequatur или сокращенное aequ. В 1557 г. английский врач и математик Роберт Рекорд (1510 – 1558) предложил знак «=», «ибо, – писал он, – нет ничего более равного, чем две параллельные прямые». Книга Рекорда носила замечательное название – «The Whetstone of Witte» («Точильный камень остроумия»). Знак равенства, который он писал, по крайней мере в пять раз «длиннее» современного и действительно подобен отрезкам параллельных прямых. Одни современники Рекорда приняли этот знак, другие пользовались своими собственными обозначениями, третьи предпочитали старое написание словами. Некоторые математики употребляли это новшество в рукописях, а в печати – избегали. Такое положение возникло из-за того, что знак «=» иногда употреблялся в других смыслах. Виетобозначал им арифметическую разность. Его обозначениям следовали и другие математики. У Декартазнак «=» означал ±, а для знака равенства он христианская церковь, математика почти не развивалась. В некоторых из них математические исследования были запрещены, так как они рассматривались как попытка возрождения язычества. Лишь в отдельных трактатах по богословию и схоластической философии рассматривались некоторые математические вопросы. Однако потребности практики, развития промышленности и торговли и мореплавания привели к необходимости возродить науки, и в частности математику. Первоначально европейские ученые ограничивались изучением древнегреческой науки, но потом познакомились с достижениями арабских математиков. Ученые средневекового Востока передали Европе математику греков и индийцев в оригинальной переработке, причём особенно много они занимались алгеброй. Само слово «алгебра» – арабское (аль-джебр) и является началом названия одного из сочинений алъ-Хорезми («аль-джебр» означало один из приёмов преобразования уравнений).

Как у арабов, так и у первых европейских алгебраистов, не было буквенной символики. Формулы излагались словесно, что затрудняло их чтение, преобразование и использование. Алгебраическая символика начала развиваться с конца XV в. Приспособляясь к практике, ученые переходят к удобным сокращениям; например, вместо слов «плюс» и «минус» стали употреблять латинские буквы р и т с особой чёрточкой сверху. В конце XV в. в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки «+» и «–». Систематическое применение буквенных обозначений в алгебре начинается с работ Ф. Еиета(1540 – 1603) Однако в его работах буквы используются для обозначения лишь положительных чисел, а показатели степеней обозначаются словами. Например, вместо формулы (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³ он писал a cubos + bin a quadr 3 + a in b quadt 3 + b cubo aequelia a + b cubo. Символика Виета была усовершенствована английским математиком Томасом Гарриотом (1560 – 1621), который однако еще не применял обозначений для показателей степени, а выписывал все сомножители входящие в одночлены. Современный вид алгебраических обозначений в основном принадлежит Р. Декарту (1596 – 1650).

Понятие о степени возникло в древности в связи с нахождением площади квадрата и объема куба (отсюда названия «квадрат», «куб» для обозначения второй итретьей степеней). Сохранились таблицы квадратов и кубов, составленные за 170 лет до н. э. в Древнем Вавилоне. Для обозначения высших степеней употреблялись позже составные выражения «биквадрат», или «квадрато-квадрат» для четвертой степени, «кубоквадрат» для пятой и т.д. Современные названия предложены голландским ученым Симоном Стевином (1548 – 1620), который обозначал степе ни в виде 2, 3 и т.д. Он же начал систематически употреблять дробные показатели степени для обозначения корней. В настоящее время для извлечения корня употребляются два обозначения: знак радикала и дробные показатели. Предпочтительнее использовать обозначения с дробными показателями – обозначения со знаком употреблял символ « », благодаря его «Геометрии» именно этот знак равенства был распространен в течение XVII в. Только к концу XVIII в. можно считать знак «=» широко распространившимся. Знак приближенного равенства имел предка в рукописях древнегреческих математиков – этот знак , первая буква слова – «приблизительно», затем он превратился в знак «~». Знак «~» ввел немецкий математик Адам Гюнтер (1848 – 1923) в 1882 г.

Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение без этого орудия – языка формул – были бы немыслимо дальнейшее развитие математики, механики; физики и других наук.

Теория многочленов была развита в трудах Д. Кардано(1501 – 1576), Э. Si (1730 – 1783) английского математика Уильяма Горнера (1786 – 1837) и др. Теория симметрических многочленов начала развиваться в связи с доказанными Виета формулами, выражающими коэффициенты многочлена как симметрические функции его корней. Английский математик Эдуард Варинг (1732 – 1798) в вел формулы, выражающие степенные суммы через элементарные симметрические функции. Он доказал также, что любой симметрический многочлен п переменных может быть записан как многочлен от элементарных симметрических многочленов.

Схема Горнера фактически использовалась математиками средневекового Китая. В начале XIX в. этот прием нахождения частного и остатка при делен многочленов был открыт независимо У. Горнером (1819) и итальянским тиком Паоло Руффини (1765 – 1822) в 1802 г.