Математические выражения

Понятие «математическое выражение» является простейшим, поэтому оно не определяется, а лишь описывается.

Часто вместо числовых выражений в математике рассматривают выражения, в которых на некоторых местах вместо чисел стоят буквы, которые называются переменными. Такие выражения называют математическими выражениями или выражениями с одной или несколькими переменными. Под переменной величиной понимают величину, которая принимает различные числовым значения. Обозначение неизвестных или переменных ввел Р. Декарт в 1637 г.

Например, выражения вида: 3х + 4; 2ав – 3с; 5z + 3 к являются математическими выражениями с одной, двумя, тремя переменными.

Если стоит задача нахождения значения, например, математического выражения 5z + 3 к, при z = 5, к = 2, то математическое выражение становится выражением с двумя переменными.

Выражения с переменными можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, извлекать корень.

Выражения с переменными бывают алгебраические и неалгебраические.

Определение. Выражением с переменной называется:

1) буквы;

2) выражения вида (А) (В); (А) × (В); (А) : (В), где А и В выражения с переменными.

Определение. Алгебраическим выражением называется:

1) число;

2) буква;

3) выражения вида: (А) (В); (А) × (В); (А) : (В), где А и В алгебраические выражения.

Например, и др.

Определение. Множество значений переменных, входящих в выражение, при которых выражение с переменными обращается в числовое выражение, имеющее смысл, называют областью определения данного выражения.

Если вместо переменных, входящих в выражение подставить числовые значения из области определения, то получим числовое выражение. Выполнив все указанные действия в выражении, получим число, которое называют значением выражения с переменными.

Множество всех чисел, полученных таким образом, называют множеством значений выражения с переменными.

Выражения с переменными не являются предикатом, так как при подстановке вместо букв числовых значений, получается не высказывание, а числовое выражение, значением которого является не истинна или ложь, а некоторое число.

Например, рассмотрим выражение с переменной вида: 4 : (х – 3), заданного на множестве R. Областью определения данного выражения является множество всех чисел, кроме х = 3.

Если дано выражение, содержащее несколько переменных, например, х, у, то под областью определения понимают множество пар чисел (а, в) таких, что при замене х на а, у на в, получается числовое выражение, имеющее смысл.

Например, область определения выражения 7 : (х – у) состоит из всех пар чисел (а; в), таких, что а в.

Определение.Два выражения с переменной называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при любых допустимых значениях, входящих в них букв.

Например, выражения (х + 3)² и х² + 6х+ 9 тождественно равные.

Определение.Два тождественно равных на некотором множестве выражения, соединенные знаком «=», называются тождеством на этом множестве.

К тождествам относят формулы сокращенного умножения – алгебраические тождества, основные тригонометрические тождества.

Чтобы доказать тождество, надо выполнить тождественные преобразования над левой и правой частями тождества, чтобы получить тождественно равные выражения.

Например, докажите тождество 7а – (9а – (2а – 5)) + 5 = 0.

Решение. Рассмотрим левую часть равенства и упростим ее. Для этого раскроим скобки и приведем подобные слагаемые.

7а – (9а – (2а – 5)) + 5 = 7а – (9а – 2а + 5) + 5 =

7а – 9а + 2а – 5 + 5 = 7а – 7а – 5 + 5 = 0 + 0 = 0.

Очевидно, что равенство верно при всех значениях переменной а. Следовательно, данное равенство является тождеством.