Профессиональная направленность изучения функциональных отношений

Понятие функции относится к одному из важнейших понятий математики. Важность и сложность понятия функции требует от начального курса математики постепенной и систематической подготовки учащихся к усвоению этого понятия. Хотя изучение функции в начальном курсе математики начинается в VI классе, однако подготовка учащихся к усвоению понятия «функция» начинается уже в начальных классах. Поэтому учитель начальных классов должен с пониманием сути дела осуществлять пропедевтику понятия «функция» и обучать учащихся решению задач с пропорциональными величинами.

Так, с понятие «переменная величина» учащиеся начальной школы встречаются при изучении арифметических и алгебраических выражений в процессе выполнения заданий, в которых требуется найти значение выражений.

Уже в теме «Числа от 1 до 10», после введения операции сложения, учащимся предлагаются задания, в которых значения слагаемых заданы в табличной форме и требуется найти значение суммы, заполнив соответствующие клетки таблицы.

Подготовка учащихся начальных классов к усвоению понятия функции в неявном виде продолжается. Выполняя, например, задание:

учащиеся устанавливают, что каждому значению одного слагаемого соответствует единственное значение другого слагаемого (при постоянной сумме). С помощью этой таблицы устанавливается соответствие между множеством значений одного слагаемого и множеством значений другого.

Областью определения этой функции и множеством значений является отрезок натурального числового ряда чисел от 1 до 9.

В учебниках для начальных классов немало заданий такого характера:

1. Составить все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 13. Выполняя задание, можно составить таблицу, по которой устанавливается функциональная зависимость значений второго слагаемого от значений первого. Область определения этой функции являются числа: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В последующих классах начальной школы вводится буквенное обозначение переменной, а учащимся предлагаются задания, в которых требуется найти значение буквенных выражений при заданных числовых значениях, входящих в них букв. Практическое ознакомлением с переменной, а в дальнейшем с переменными, способствует овладению школьниками функциональными представлениями, формирует их мировоззрение, усиливает прикладную направленность математики.

Так, в теме «Числа от 1 до 1000» вводится понятие «выражение с переменной» при рассмотрении заданий типа: «Дана разность 12 – k. Подобрать пять значений буквы k и вычислить значение разности. Может ли буква k принимать значения 10, 11, 12, 13, 0?».

Выполняя задание, то есть вычисляя значений разности 12 – k, учащиеся по сути устанавливают соответствие между множеством значений буквы k и множеством значений разности 12 – k. Это соответствие есть не что иное как функция, так как здесь каждому значению k соответствует единственное значение разности 12 – k.

Областью определения является множество А = {0, 1, 2, 3, 4, …, 12}, А N₀.

«Измерь отрезки, и запиши чему равна длина каждого из них?»

Выполнение задания требует установления соответствия между множеством отрезков Х и множеством Y – множеством натуральных чисел. Соответствие между данными множествами определяется словами: «отрезок х имеет длину у».

Соответствие между Х и Y есть функция, так как каждому значению длины отрезка х Х, соответствует единственное число у Y, Y N_.

Областью определения этого соответствия будет множество всех натуральных чисел, а множество значений состоит из чисел, соответствующих длинам отрезков и являющихся подмножеством множества действительных чисел.

Выполняя эти задания, учащиеся устанавливают зависимость между произведением и сомножителями. Они делают вывод: «Если один из множителей оставить без изменения, а другой увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз».

Здесь происходит знакомство с понятием прямой пропорциональной зависимости. Полученные выводы используются и при решении других заданий учебника.

Анализируя учебники «Математика» для начальных классов, мы находим значительное количество упражнений, задач, связанных с формированием таких понятий как соответствие, функции, функциональные отношения.

«Заполни таблицу»:

«Найдите значения выражения: 14976 : а, если а = 18; а = 26; а = 72».

«Объясните, что показывает каждое выражение, составленной по данным таблицы»:

«На одной машине привезли 24 мешка муки по 80 кг каждый, а на второй таких же мешков привезли в 2 раза больше. Сколько муки привезли на второй машине?»

При решении этой задачи необходимо обратить внимание младших школьников на тот факт, что во второй раз привезли в два раза больше, значит и общая масса муки, равная произведению (80 × 24) увеличится в 2 раза, то есть решение задачи должно придать вид:

1) 80 × 24 = 1920 (кг),

2) 1920 × 2 = 3840 (кг).

Понятие функциональной зависимости формируется и при решении всевозможных задач на пропорциональное деление.

Конечно, при формировании различных функциональных отношений не употребляется ни соответствующая терминология, ни символика, внимание обращается только на взаимосвязи и отношения.

Задание. Подобрать по 2 – 3 задания из учебников математики для начальных классов, формирующих понятия соответствия, функции, функциональной зависимости и показать методику работу с ними, разработав конспекты фрагментов уроков.