Приемы преобразования и методы решения уравнений с одной переменной

1. Перенос слагаемых из одной части в другую, то есть переход от уравнения f₁ (х) = f₂ (х) + F (х), х Х, к уравнению f₁ (х) – F (х) = f₂ (х), х Х.

2. Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

f₁ (х) + F (х) – F (х) = f₂ (х), х Х к уравнению f₁ (х) = f₂ (х), х Х.

3. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, то есть переход от уравнения f₁ (х) = f₂ (х), х Х, к уравнению f₁ (х) × F (х) = f₂ (х) × F (х), х Х.

Например, умножив обе части уравнения на выражение х – 2 0, получим уравнение х² – 4 = 0, х₁ = 2, х₂ = – 2 (х₂ = – 2 – посторонний корень).

4. Переход от уравнения f₁(x) · f₂(x) · … f_n (x) = 0, х Х к дизъюнкции уравнений f₁(x) = 0, х Х; f₂(x) = 0, х Х; …; f_n (x) = 0, х Х.

5. Переход от уравнения f₁(x) = f₂(x), х Х, к уравнению [f₁(x)]ⁿ = [f₂(x)]ⁿ, х Х. Такой переход используется при решении иррациональных уравнений.

6. Метод замены неизвестного. Применяется при решении уравнений вида f(g(x)) = 0.

Например, решить уравнение .

Решение. Введем новое неизвестное t = . Тогда получим уравнение t² – t = 0, корни которого t₁ =0, t₂ = 1. Следовательно, . Решив уравнения и , находим все корни исходного уравнения: х₁ = – ; х₂ = ; х₃ = 2; х₄ = – 1.

7. Линейное уравнение с одним неизвестным х – это уравнение вида ах = в, а 0,где а, в R. Линейное уравнение всегда имеет единственный корень х = .

Например, решим уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6, 12), получим уравнение: , имеем:

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12 8 + 2 + 12 = 5х – 3х + 2х 4х = 22 х = 5, 5.

8. Квадратное уравнение с одним неизвестным – уравнение вида ах² + вх + с = 0, а 0, а, в R. Д = в² – 4ас – дискриминант квадратного уравнения или квадратного трехчлена.

9. Биквадратное уравнение вида ах² + вх² + с = 0, где а 0 решается методом введения новой переменной: положив х² = у, придем к квадратному уравнению ау² + ву + с = 0.

Например, решим уравнение х⁴ + 4х² – 21 = 0.

Решение. Пусть х² = у, тогда получим: у² + 4у – 21 = 0, откуда у₁ = – 7; у₂ = 3.

Теперь решим уравнения: х² = – 7 х² = 3.

Первое из которых не имеет действительных корней, из второго находим: х₁ = – , х₂ = , которые являются корнями биквадратного уравнения.

10. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

При решении уравнения, содержащего знак абсолютной величины, следует разбить область определения уравнения на множества, на каждом из которых, выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве записать уравнение без знака модуля и решить его на этом множестве. Объединение множества решений, найденных на всех частях области определения уравнения, составляет множество всех решений уравнения.

Например, решить уравнение х² – 5 |х| + 6 = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности систем:

х² – 5х + 6 = 0, х² +5х + 6 = 0,

х 0, х < 0

Уравнение х² – 5х + 6 = 0 имеет два решения: х₁ = 2; х₂ = 3, каждое из которых неотрицательно, поэтому числа 2 и 3 являются решением первой системы совокупности. Уравнение х² + 5х + 6 = 0 имеет решения х₃ = – 2; х₄ = – 3, которые являются решениями второй системы совокупности. Поскольку х₃ < 0 и х₄ < 0.

Ответ: – 2; 2; – 3; 3.

11. Иррациональное уравнение – уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Для решения иррациональных уравнений используется чаще других:

– метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень;

– метод введения новых переменных.

Например, решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение к виду: , возведем обе части в квадрат.

Получим . Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат, имеем: 144(х – 1) = (29 – х)² х² – 202х + 985 = 0, откуда х₁ = 5; х₂ = 197.

Проверка показывает, что х₂ = 197 – посторонний корень, а х = 5 – корень уравнения.