Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Теоремы о равносильности уравнений с одним неизвестным




Теорема 1. Если к обеим частям уравнения f(х) = g(х) (1), определенного на множестве Х, прибавить выражение t(х), определенное на этом же множестве Х, то получим уравнение f(х) + t(х) = g(х) + t(х) (2), равносильное данному.

Доказательство. Пусть Т1 – множество решений уравнения (1), Т2 – множество решений уравнения (2). Покажем, что Т1 = Т2 Т1 Т2 Т2 Т1.

Пусть х0 Т1,то есть является корнем уравнения (1).

Следовательно, f(х0) = g(х0) – истинное числовое равенство.

Так как выражение t(х) определено на множестве Х и х0 Х, то t(х0) – число.

По свойству числовых равенств имеем: f(х0) + t(х0) = g(х0) + t(х0) – истинное числовое равенство, которое означает, что х0 – корень уравнения (2), то есть х0 Т2. Таким образом, Т1 Т2.

Пусть х0 Т2.

Следовательно по определению корня f(х0) + t(х0) = g(х0) + t(х0) – верное числовое равенство. По свойству числовых равенств прибавим к обеим частям число – t(х0), получим: f(х0) = g(х0) – истинное числовое равенство, то есть х0 Т1. Следовательно, Т2 Т1.

Имеем: Т1 Т2 Т2 Т1 Т1 = Т2.

А это означает, что f(х) = g(х) f(х) + t(х) = g(х) + t(х) равносильны на множестве Х.

Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.

Теорема 2. Если обе части уравнения f(х) = g(х) (1), определенного на множестве Х, умножить на одно и то же число или числовое выражение, отличное от нуля, то получим уравнение f(х) × t(х) = g(х) × t(х), х Х (2), равносильное данному на множестве Х.

Доказательство. Пусть Т1 – множество решений уравнения (1), Т2 – множество решений уравнения (2). Покажем, что Т1 = Т2 Т1 Т2 Т2 Т1.

Пусть х0 – произвольный корень уравнения f(х) = g(х). Тогда f(х0) = g(х0) – истинное числовое равенство. По свойству истинных числовых равенств умножим обе части на t(х0) отличное от нуля. Получим: f(х0) × t(х0) = g(х0) × t(х0) – верное числовое равенство, которое означает, что х0корень уравнения (2). Это означает, что х0 Т2 Т1 Т2.

Рассуждая аналогично, получим, что х0 Т1, а значит Т2 Т1, а значит, Т1 = Т2 и уравнения (1) и (2) равносильны.

Следствие. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Теорема 3. Уравнение f(х) = g(х), заданное на множестве Х, равносильно уравнению f(х) + = g(х) + , заданному на том же множестве, где R.

Теорема 4. Уравнение f(х) = g(х), заданное на множестве Х, равносильно уравнению f(х) = g(х), где R \ {0} на всей области определения.

Теорема 5. Уравнение (f(х))n = (g(х))n является следствием уравнения f(х) = g(х) на всей области определения, n N.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 180; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты