Теоремы о равносильности уравнений с одним неизвестным

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения f(х) = g(х) (1), определенного на множестве Х, прибавить выражение t(х), определенное на этом же множестве Х, то получим уравнение f(х) + t(х) = g(х) + t(х) (2), равносильное данному.

Доказательство. Пусть Т₁ – множество решений уравнения (1), Т₂ – множество решений уравнения (2). Покажем, что Т₁ = Т₂ Т₁ Т₂ Т₂ Т₁.

Пусть х₀ Т₁,то есть является корнем уравнения (1).

Следовательно, f(х₀) = g(х₀) – истинное числовое равенство.

Так как выражение t(х) определено на множестве Х и х₀ Х, то t(х₀) – число.

По свойству числовых равенств имеем: f(х₀) + t(х₀) = g(х₀) + t(х₀) – истинное числовое равенство, которое означает, что х₀ – корень уравнения (2), то есть х₀ Т₂. Таким образом, Т₁ Т₂.

Пусть х₀ Т₂.

Следовательно по определению корня f(х₀) + t(х₀) = g(х₀) + t(х₀) – верное числовое равенство. По свойству числовых равенств прибавим к обеим частям число – t(х₀), получим: f(х₀) = g(х₀) – истинное числовое равенство, то есть х₀ Т₁. Следовательно, Т₂ Т₁.

Имеем: Т₁ Т₂ Т₂ Т₁ Т₁ = Т₂.

А это означает, что f(х) = g(х) f(х) + t(х) = g(х) + t(х) равносильны на множестве Х.

Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.

Теорема 2. Если обе части уравнения f(х) = g(х) (1), определенного на множестве Х, умножить на одно и то же число или числовое выражение, отличное от нуля, то получим уравнение f(х) × t(х) = g(х) × t(х), х Х (2), равносильное данному на множестве Х.

Доказательство. Пусть Т₁ – множество решений уравнения (1), Т₂ – множество решений уравнения (2). Покажем, что Т₁ = Т₂ Т₁ Т₂ Т₂ Т₁.

Пусть х₀ – произвольный корень уравнения f(х) = g(х). Тогда f(х₀) = g(х₀) – истинное числовое равенство. По свойству истинных числовых равенств умножим обе части на t(х₀) отличное от нуля. Получим: f(х₀) × t(х₀) = g(х₀) × t(х₀) – верное числовое равенство, которое означает, что х₀ – корень уравнения (2). Это означает, что х₀ Т₂ Т₁ Т₂.

Рассуждая аналогично, получим, что х₀ Т₁, а значит Т₂ Т₁, а значит, Т₁ = Т₂ и уравнения (1) и (2) равносильны.

Следствие. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Теорема 3. Уравнение f(х) = g(х), заданное на множестве Х, равносильно уравнению f(х) + = g(х) + , заданному на том же множестве, где R.

Теорема 4. Уравнение f(х) = g(х), заданное на множестве Х, равносильно уравнению f(х) = g(х), где R \ {0} на всей области определения.

Теорема 5. Уравнение (f(х))ⁿ = (g(х))ⁿ является следствием уравнения f(х) = g(х) на всей области определения, n N.