Приемы преобразования и методы решения систем уравнений: метод подстановки, метод сложения (исключения неизвестных), метод введения новых переменных, графический метод

Решить систему уравнений:

5х – у = 5,

х + у = 1.

Решение. Решим систему методом подстановки.

5х – у = 5, у = 5х – 5, у = 5х – 5, у = 5х – 5, у = 5х – 5,

х + у = 1 х + у = 1 х + 5х – 5 = 1 6х = 6 х = 1.

Так как х = 1, найдем значение переменной у: у = 5 · 1 – 5, у = 0.

Пара (1; 0) – решение системы.

Ответ: (1; 0).

Решить систему уравнений:

3х + 4у = 17,

10х – 4у = 9.

Решение. Решим систему способом сложения.

3х + 4у = 17,

10х – 4у = 9.

13х = 26, х = 2.

Подставим значение переменной х = 2 в первое (или второе) уравнение системы: 3 · 2 + 4у = 17,

6 + 4у = 17, 4у = 11; у = 2, 75.

Пара (2; 2, 75) – решение системы.

Ответ: (2; 2, 75).

Решить систему уравнений:

,

х+ у = 5.

Решение. Решим систему способом введения новых переменных. Пусть , тогда . Следовательно, первое уравнение примет вид: z + = и система уравнений будет равносильна следующей:

z + = , 6z² + 6 = 13z, 6z² – 13z + 6 = 0, z₁ = , z₂ = ,

х + у = 5 x + y = 5 х + у = 5 х + у = 5.

Таким образом, и .

Следовательно, и ,

х + у = 5 х + у = 5.

Решая каждую систему, получим соответственно пары (2; 3) и (3; 2).

Решить графически систему уравнений:

(х – 5)² + (у + 3)² = 16,

у = х² + х – 2

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений и найдем координаты точек пересечения этих графиков.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в точке К (5; – 3) и R = 4 и параболу у = х² + х – 2. Видим, что окружность и парабола не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Пусть даны два уравнения с двумя переменными f(х, у) = 0 и g(х, у)= 0. Если ставится задача отыскания всех пар чисел (а; в), которые удовлетворяют хотя бы одному из указанных уравнений, то говорят, что надо решить совокупность уравнений, которую записывают в виде:

f(х, у) = 0,

g(х, у)= 0.

Множество решений совокупности уравнений состоит из объединения множеств решений всех уравнений, входящих в совокупность. Если уравнение f(х, у) = 0 задает линию Г₁, а уравнение g(х, у)= 0 линию Г₂, то совокупность задает объединение этих линий.

Если, например, решением системы

х + у = 3,

х – у = 0 является пара ( ), то решением совокупности

х + у = 3,

х – у = 0 является бесконечное множество пар чисел, сумма которых равна 3 или разность которых равна нулю. Это, например, пары: (1; 2), (2; 2), (4; – 1) и т.д.