Понятие неравенства с одной переменной

Определение.Пусть f(х) и g(х) – выражения с переменной х, определенные соответственно на множестве Х₁ и Х₂. Предикат вида f(х) >g (x), f(х) < g (x), f(х) g (x), f(х) g (x), определены на множестве Х = Х₁ Х₂, называется неравенством с переменной.

Всякое значение переменной х Х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Множество всех решений неравенства (или множество истинности Т предиката) f(х) g (x), х Х, принято называть множеством решения неравенства, то есть это множество Т – чисел, при подстановке которых вместо х, получаются верные числовые неравенства.

Неравенство может иметь бесконечное множество решений или конечное, или быть пустым.

Например, неравенство 2х < 4 имеет бесконечное множество решений (Т = (– ; 2)), а множество решений неравенства х² + 1 < 0 пусто.

Определение.Множество значений х, при которых определены обе части неравенства, называется областью допустимых значений (ОДЗ) переменной х или областью определения неравенства.

Например, неравенство имеет в качестве ОДЗ все R из интервала (– ; 3]; на множестве натуральных чисел ОДЗ данного неравенства является множество {1, 2, 3}.

Замечание. В дальнейшем, если не оговорено специально, под множеством Х будем понимать подмножество множества действительных чисел и будем считать, что f(х) и g(х) определены на всем множестве Х.