Теоремы о равносильности неравенств

Теорема 1.Если к обеим частям неравенства f(х) < g (x), (1), определенного на множестве Х, прибавить выражение t(х), имеющее смысл при всех х Х, то получим новое неравенство f(х) + t(х) < g (x) + t(х), (2), х Х, равносильное данному.

Пусть Т₁ – множество решений неравенства (1), Т₂ – множество решений неравенства (2).

Докажем, что Т₁ = Т₂ Т₁ Т₂ Т₂ Т₁.

Доказательство. Пусть Т₁, тогда по определению множества решений неравенства f( ) < g ( ) – верное числовое неравенство.

Так как выражение t(х) определено на множестве Х и Х, то t( ) – некоторое число.

По свойству числовых неравенств прибавим к обеим частям верного числового неравенства f( ) < g ( ) одно и то же число t( ), получим верное числовое неравенство f( ) + t( ) < g ( ) + t( ), которое показывает, что принадлежит множеству решений неравенства (2). Значит, каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). А это значит, что Т₁ Т₂.

Пусть принадлежит множеству решений неравенства (2), то есть Т₂. Тогда по определению решения неравенства f( ) + t( ) < g ( ) + t( ) – верное числовое неравенство. По свойству верных числовых неравенств прибавим к обеим частям одно и то же число – t( ), получим верное числовое неравенство f( ) < g ( ), которое показывает, что принадлежит множеству решений неравенства f(х) < g (x), то есть Т₁. Следовательно, каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Иначе говоря, Т₂ Т₁.

Так как Т₁ Т₂ Т₂ Т₁ Т₁ = Т₂. Множества решений данных неравенств совпадают и, следовательно, данные неравенства равносильны.

Следствие. Всякое слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак на противоположный.

Теорема 2.Если выражение t(х) имеет смысл при всех х Х и положительно на Х, то неравенства f(х) < g (x), х Х (1) и f(х) · t(х) < g (x) · t(х), х Х (2), равносильны.

Доказательство. Пусть принадлежит Т₁ – множеству решений неравенства (1). Тогда справедливо числовое неравенство f( ) < g ( ). Но t( ) – некоторое положительное число, так как по условию t(х) имеет смысл и положительно при всех х Х, и, в частности, при х = .

Умножив обе части верного числового неравенства f( ) < g ( ) на одно и то же положительное число t( ), получим верное числовое неравенство f(х) · t(х) < g (x) · t(х), которое показывает, что принадлежит и множеству решений неравенства (2). Значит, каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2), то есть Т₁ Т₂.

Пусть теперь принадлежит Т₁ – множеству решений неравенства (2). Тогда f(х) · t(х) < g (x) · t(х), – верное числовое неравенство. Но t( ) – некоторое положительное число (t( ) > 0), значит и . Умножив обе части верного числового неравенства f(х) · t(х) < g (x) · t(х), на одно и то же положительное число , получим верное числовое неравенство f( ) < g ( ), которое показывает, что принадлежит Т₁ – множеству решений неравенства (1). Значит, каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (1), то есть Т₂ Т₁.

Таким образом, Т₁ Т₂ Т₂ Т₁ Т₁ = Т₂ – данные неравенства равносильны.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.Если выражение t(х) имеет смысл при всех х Х и отрицательно на Х, то неравенства f(х) > g (x), х Х (1) и f(х) · t(х) < g (x) · t(х), х Х равносильны.

Доказывается аналогично предыдущему.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.