Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

При решении данных неравенств, следует помнить, что

f (x), если f (x) 0,

– f (x), если f (x) < 0,

При этом ОДЗ неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решить неравенство на каждом интервале и полученные решения объединить в множество решений исходного неравенства.

Пример. Решить неравенство |х – 1| + |2 – х| > 3 + х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства) на интервалы: х < 1; 1 х 2; х > 2). Решим данное неравенство на каждом из них.

Если х < 1, то х – 1 < 0 и 2 – х > 0. Поэтому |x – 1| = – (x – 1), |2 – х| = 2 – х. Значит, исходное неравенство примет вид: 1 – х + 2 – х > 3 + х, то есть х < 0. В этом случае решающими исходного неравенства являются все отрицательные числа.

Если 1 х 2, то х – 1 0 и 2 – х 0; поэтому |х – 1| = х – 1 и |2 – х| = 2 – х. Значит, имеет место система:

1 х 2, х > 2,

х – 1 + 2 – х > 3 + х, х > 6, х > 6.

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ исходного неравенства, получаем его решение: (– ; 0) (6; + ).

Ответ: (– ; 0) (6; + ).

Теорема. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только отрицательные значения, то неравенства f(x) > g(x) (f(x))²> (g(x))²/

Решить неравенство |х – 2| < 3.

Решение. 1 способ. Выражение |х – 2| можно рассматривать как расстояние на числовой оси между точками х и 2. Значит, нужно указать на числовой оси все точки х, которые удалены от точки 2 меньше, чем на 3 единицы. Очевидно, что множество решений неравенства есть интервал (– 1; 5).

2-й способ. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство (х – 2)² < 9, решая которое, получим х² – 4х – 5 < 0. Откуда находим, что – 1 < х < 5.

3- способ. По определению модуля числа

х – 2, если х – 2 0,

– (х – 2), если х – 2 < 0, поэтому исходное неравенство можно записать совокупностью двух систем неравенств:

х – 2 0,

х – 2 < 3, откуда 2 х < 5,

х – 2 < 0,

– (х – 2) < 3, откуда – 1 < х < 2.

Объединив решения совокупности имеем: (– 1; 5).

Ответ: (– 1; 5).