Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными

История развития неравенств тесно связана с историей развития уравнений и систем уравнений . Знаки неравенств «>», «< » появились впервые лишь в XVII в., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.

В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Так, при расширении понятия числа – переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным – мы должны определить отношение «меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. С помощью неравенств задаются основные числовые множества (отрезок – а < х < b, интервал – а < х < b, луч – х > а и т.д.), формулируются определения предела, монотонной последовательности и функции и др.

На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных.

Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: «сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°». Эта теорема наряду с самыми первыми геометрическими неравенствами («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике – она содержалась в знаменитых «Началах» Евклида.

Неравенство – это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики – алгебре и теории чисел, геометрии и топологии, теории вероятностей и математической статистике – получены фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Например, решение каких-либо практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно – в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, то есть доказать некоторое неравенство.

После введения знака равенства английский ученый Томас Гарриот (1560 – 1621) в своей посмертной публикации «Artis Analitical Praris» (1631) ввел употребляемые нами знаки неравенства «<» и «>». Он обосновал свое нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в соотношении, не параллельны, а пересекаются. Пересечение может быть справа (>) или слева (<). Несмотря на то, что знаки неравенства были предложены на 74 года позднее знака равенства, в употребление они вошли намного раньше. Одна из причин – то, что в типографиях использовали для неравенств уже имевшуюся букву V, тогда как наборного знака равенства у них не было. Знаки « » и « » были употреблены 100 лет спустя французским физиком и математиком Пьером Буге (1698 – 1758) и быстро вошли в обиход.