Система и совокупность неравенств с одной переменной

Поскольку неравенство, содержащее подмножество Х, есть предикат, то можно говорить о конъюнкции и дизъюнкции неравенств.

Определение. Пусть f₁(x) > g₁(x) – неравенство, определенное на множестве Х₁; f₂(x) > g₂(x) – неравенство, определенное на множестве Х₂ и т.д. f_n(x) > g_n(x) – неравенство, определенное на множестве Х_n.

Конъюнкцию предикатов f₁(x) > g₁(x); f₂(x) > g₂(x); …; f_n(x) > g_n(x) называют системой данных неравенств и записывают:

f₁(x) > g₁(x)

……………

f_n(x) > g_n(x)

Область определения системы неравенств с одной переменной есть множество Х = Х₁ Х₂ … Х_n.

Значения переменной, при которой каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему.

Например. Решить систему неравенств

6х + 1 2х – 7,

2х – 3 > 3х – 11.

Решение. Данная система неравенств равносильна системе:

х – 4,

х < 7.

Таким образом, множество решений системы есть интервал [– 4; 7), который является пересечением интервалов [– 4; + ) и (– ; 7).

Говорят, что дана совокупность n неравенств, если требуется найти значения х , которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств. Совокупность неравенств обозначают:

f₁(x) g₁(x), х Х₁

……………

f_n(x) g_n(x), х Х_n

Совокупность n неравенств есть дизъюнкция неравенств f₁(x) g₁(x) … f_n(x) g_n(x). Область определения совокупности (дизъюнкции) n неравенств есть множество Х = Х₁ Х₂ … Х_n.

Решением совокупности неравенств с одной переменной называют всякое значение х , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.

Например. Решить совокупность неравенств:

,

.

Решение. Данная совокупность неравенств равносильна следующей:

4(2х + 1) 5(3х – 2), х 2,

3 + х < 3х + 7. х > – 2, откуда находим, что решением заданной совокупности служит интервал (– 2; + ).