Неравенство второй степени с одним неизвестным

(квадратное неравенство)

Неравенство вида ах² + вх + с 0, где а 0, называют квадратным неравенством. Чтобы решить квадратное неравенство вида ах² + вх + с > 0, а 0, достаточно узнать, при каких значениях х график трехчлена находится в верхней полуплоскости, для чего необходимо вычислить дискриминант квадратного трехчлена: в² – 4ас.

Если в² – 4ас > 0, то данному неравенству удовлетворяют все числа, больше большего корня и меньше меньшего корня.

Если в² – 4ас < 0, то неравенству удовлетворяют все R.

Если в² – 4ас = 0, то неравенству будут удовлетворят все R, кроме .

Неравенству ах² + вх + с < 0, а 0, при в² – 4ас > 0 удовлетворяю все те значения х, которые больше меньшего корня трехчлена, но меньше большего корня.

Если в² – 4ас 0, то неравенство не имеет решений.

Пусть Д = в² – 4ас, х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена. Проведем исследование квадратного трехчлена.

Д > 0, а > 0 Д = 0, а > 0 Д > 0, а > 0

х (– ; х₁) (х₂; + ) х (– ; х₁) (х₂; + ) х (– ; + )

Д > 0, а < 0 Д =0, а < 0 Д < 0, а < 0

х (х₁; х₂) х (решений нет) х (решений нет)

Пример 1. Решите неравенство х² – 5х + 6 > 0.

Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена х² – 5х + 6.

Д = 5² – 4 · 6 = 1. Д > 0 квадратный трехчлен имеет два корня. Найдем корни, решив уравнение х² – 5х + 6 = 0, х₁ = 3; х₂ = 2 х² – 5х + 6 = (х – 3)(х – 2) и исходное неравенство равносильно неравенству (х – 3)(х – 2) >0

х – 3 > 0, х > 3,

х – 2 > 0, х > 2, х > 3

х – 3 < 0, х < 3,

х – 2 < 0, х < 2, х < 2

Следовательно, множество решений неравенства х² – 5х + 6 > 0 есть множество (– ; 2) (3; + ).

Пример 2. Решить неравенство 12х² – х – 6 < 0.

Решение. Рассмотрим функцию у = 12х² – х – 6. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение 12х² – х – 6 = 0, имеем: .

Изобразим схематически график функции у = 12х² – х – 6. Очевидно, что у < 0 при х ( ).

Пример 3. Решить графически неравенство – 2х² – 5х + 3 0.

Решение. Рассмотрим функцию у = – 2х² – 5х + 3. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Решив уравнение – 2х² – 5х + 3 = 0, находим нули функции: у = 0 при х₁ = – 3; х₂ = 0,5. Изобразим схематически график функции у = – 2х² – 5х + 3.

Очевидно, что у 0 при х [– 3; 0,5]. Следовательно, множество решений неравенства – 2х² – 5х + 3 0 есть множество [– 3; 0,5].

Пример 4. Решите неравенство 7х² – 4х + 1 > 0.

Решение. Д = 4² – 4 · 7 = – 12, Д < 0, коэффициент а = 7 больше нуля, то решением неравенства 7х² – 4х + 1 > 0 является любое R.

Ответ: (– ; + ).

Пример 5. Решите неравенство х² – 8х + 17 < 0.

Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена х² – 8х + 17.

Д = 8² – 4 · 17 = – 4, Д < 0, коэффициент а = 1 > 0, следовательно, неравенство х² – 8х + 17 < 0 не имеет решений.

Пример 6. решите систему следующих неравенств:

х² – 10х + 21 > 0,

х² – 16 < 0.

Решение. Для решения неравенства х² – 10х + 21 > 0 рассмотрим функцию у = х² – 10х + 21. График функции парабола, ветви направлены вверх. Из уравнения х² – 10х + 21 = 0 находим нули функции: у = 0 при х₁ = 3 и х₂ = 7.

Изобразив схематично график функции у = х² – 10х + 21 видим, что у > 0 при х (– ; 3) (7; + ).

Множество решений неравенства х² – 10х + 21 > 0: (– ; 3) (7; + ).

Решим неравенство х² – 16 < 0, рассмотрев функцию у = х² – 16. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Решив уравнение х² – 16 = 0, находим нули функции: у = 0 при х₁ = 4 и х₂ = – 4.

Изобразив схематично график функции у = х² – 16, видим, что множество решений неравенства х² – 16 < 0: (– 4; 4).

Очевидно, что множество решений системы неравенств (– 4; 3).

Ответ: (– 4; 3).