Некоторые утверждения равносильности неравенств

1. Неравенства f(х) > g (x) и f(х) – g (x) > 0 равносильны.

2. Неравенства f(х) > g (x) и f(х) + > g (x) + равносильны при R.

3. Неравенства f(х) > g (x) и а · f(х) > а · g (x) равносильны для а R₊.

4. Неравенства f(х) > g (x) и а · f(х) < а · g (x) равносильны для а R_–.

5. Неравенства а ^f(х) > а^{g (x)} и f(х) > g (x) равносильны для любого фиксированного числа а такого, что а > 1.

Решение неравенств первой степени с одной переменной вида

(или соответственно )

Если а > 0, то неравенство ,значит, множество решений данного неравенства есть промежуток ( ; + ).

Если а < 0, то неравенство ,значит, множество решений данного неравенства есть промежуток (– ; ).

Если а = 0, то неравенство примет вид 0 · х > в; оно не имеет решений, если в 0, и верно при любых х, если в < 0.

В том случае, когда а 0 неравенство называют линейным.

Решением неравенства может быть подмножество множества, на котором задается неравенство и, как правило, решением неравенства является бесконечное множество, которое иллюстрируется на числовой прямой:

Для решения неравенств вида , где а₁ < a₂ < … < a_n числовую ось разбивают на промежутки (– ;а₁); (а₁; a₂); … (a_n;+ ).

На каждом из этих промежутков исходное неравенство имеет постоянный знак. Поэтому достаточно узнать знак выражения в одной из точек промежутка, чтобы узнать его на всем промежутке. Определяя знак выражения, отбираем те промежутки, на которых это выражение положительно. Объединение положительных промежутков и является множеством решений неравенства.

Т = (– ;а₁) (а₁; a₂) … (a_n;+ ). Эту линию называют кривой знаков.

Например, решить неравенство х² (х + 3)(х – 1)³ > 0.

Решение. Расположим на числовой оси корни многочлена, стоящего в левой части неравенства.

При х (1; + ) многочлен положителен, так как все множители, стоящие в левой части положительны. Двигаясь по оси Ох справа налево при переходе через точку х = 1 многочлен меняет знак и становится отрицательным. При переходе через точку х = 0 многочлен не меняет знак. При переходе через точку х = – 3 многочлен опять меняет знак и становится положительным. Решением неравенства является все х (– ; 3) (1; + ).

Решение рациональных неравенств вида 0, где Р(х) и Q(х) – многочлен, сводится к решению равносильного неравенства Р(х) · Q(х) 0, полученного из данного неравенства умножением обеих частей неравенства на многочлен [Q(х)]², который положителен при всех допустимых значениях неизвестного (то есть при х, для которых Q(х) 0).

Например, для решения неравенства перенесем все слагаемые в левую часть и приводя к общему знаменателю, получим равносильное неравенство равносильное неравенству . Используя метод промежутков, имеем:

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке. В интервалах (– ; 2); (– 1; 0); (2; + ) выполняется неравенство.

Ответ: (– ; 2) (– 1; 0) (2; + ).

Множество решений нестрогих неравенств Р(х) 0 и Р(х) 0 является объединением всех решений строго неравенства Р(х) > 0 и множества всех решений уравнения Р(х) = 0, а множество решений нестрого неравенства вида Р(х) 0 является объединением множества всех решений неравенства Р(х) < 0 и множества всех решений уравнения Р(х) = 0.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ данного неравенства х R, х – 5, х 6.

С учетом ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству , множество решений которого находим, объединив множество решений неравенства и множество решений уравнения . Нанесем числа, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль на числовую ось, и которые разбивают числовую ось на пять промежутков:

Принимая во внимание ОДЗ исходного неравенства, находим множество его решений: х [3; – 6) {– 3}.

Ответ: х [3; – 6) {– 3}.

Пример 2. решить дробно-линейное неравенство, указав его целые решения: .

Решение. Неравенство равносильно совокупности двух линейных систем неравенств:

5х + 8 0 х

3х – 1 < 0 х <

5х + 8 0 х

3х – 1 > 0 х >

или

х [ ; )

Система (2) не имеет решений. Значит, решением неравенства является [ ; ). Целые решения неравенства: – 1; 0.