Иррациональные неравенства

Иррациональное неравенство – это неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что при возведении в четную степень обеих частей неравенства получается равносильное неравенство только в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны. При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается равносильное неравенство.

Неравенство вида равносильно системе неравенств:

f(х) 0,

g(x) > 0,

f(х) < (g(x))².

Неравенство вида равносильно совокупности двух систем:

g(x) < 0,

f(х) 0,

g(x) 0,

f(х) 0,

f(х) > (g(x))².

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Неравенство х² – х – 12 0,

х > 0,

х² – х – 12 < х².

Решив систему, находим х > 4.

Ответ: х (4; + ).

Пример 2. .

Решение. Неравенство равносильно системе неравенств:

6 – х > х + 2, х < 2,

6 – х 0, х 6,

х + 2 0. х – 2, откуда – 2 х < 2.

Ответ: [– 2; 2].

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Возведя обе части неравенства в треть степень, получим равносильное неравенство , откуда х > или х > 0.

Ответ: (– ; ) (0; + ).

Пример 4. .

Решение. Для решения исходного неравенства рассмотрим случаи:

1) х – 2 0; 2) х – 2 < 0.

1) Пусть х – 2 0. При условии 7 – 2х 0 обе части исходного неравенства существуют и неотрицательны. Возведя обе части исходного неравенства в квадрат, получим равносильность исходного неравенства и системы неравенств

7 – 2х > (х – 2)²,

х – 2 0.

Условие 7 – 2х 0 обеспечивается первым неравенством системы. Решив систему неравенств, находим 2 х < 3, то есть х [2; 3).

2) Пусть теперь х – 2 < 0, тогда в силу не отрицательности исходное неравенство справедливо для всех значений х, при которых существует . Следовательно, исходное неравенство равносильно системе неравенств.

х – 2 < 0,

7 – 2х 0, решив которую, находим: х < 2, то есть х (– ; 2).

Объединив решения, полученные в обоих случаях, имеем: (– ; 2) [2; 3).

Ответ: (– ; 3).

Пример 5. .

Решение. Пусть 5 – х > 0, тогда

5 – х > 0,

х² – 3х + 2 0,

х² – 3х + 2 < (5 – x)², решив которую, находим х 1 или 2 х < , то есть х (– ; 1] [2; ).

Пусть 5 – х 0. Так как квадратный корень принимает только не отрицательные значения, то ни при каких значениях х он не может быть меньше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства будет множество, полученное в первом случае.

Ответ: (– ; 1] [2; ).