Упражнения

1.Докажите, что уравнение (5х - 3)(х + 2)=13(х + 4) является следствием уравнения 5х – 3 = 13.

2. Какое из двух уравнений является следствием другого:

а) и х² – 4 = 0; б) и ;

в) |х² – 4| = х + 2 и 4 – х² = х + 2.

3. Равносильны ли данные уравнения:

а) и х – 4 = 0; б) и х + 2 = .

4. Равносильны ли данные уравнения на множестве рациональных чисел:

а) и х + 2 = 4; б) и х + 1 = 5; в) и х³ = 9х.

5. Равносильны ли данные системы уравнений:

а) 3х + 2у =13, и ,

3х – 2у = 5 .

б) (х + 2у)² – (у – 2х)² = 168, и 2(х + 2у)² = 180,

(х + 2у)² + (у – 2х)² = 12 2(у – 2х)² = – 156.

6. При каких значениях а данный квадратный трехчлен принимает отрицательные значения для любых действительных значений х:

а) (а + 2)х² – 2ах – 3а – 5; б) (а – 3)х² – (а + 1)х + 4а.

7. Найдите все те значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х² – 6ах + 2 – 2а + 9а = 0 больше, чем 3.

8. Найдите все те значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х² – 2ах – 1 = 0 не превосходят по модулю 2.

9. Решите уравнение :

а) ; б) ;

в) (х² + 2х – 3)( ; г) (х² + х – 6)( ) = 0.

10. Решите уравнение методом введения новых переменных:

а) ; б) ;

в) = 7; г) ;

д) 2х⁴ + 3х³ – 16х² + 3х + 2 = 0; е) 2х⁴ + 3х³ – 7х² – 6х + 8 = 0.

11. Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

12. Решите уравнение:

а)|2х – 3| = 3 – 2х; б) |х² – 9| + |х – 2| = 5; в)|х –1| – 2|х – 2| + 3|х – 3| = 4.

13. Решите систему:

а) х + у = 9, б) х + у = 7, в) ,

ху = 2; ху = – 8;

г) , д) , е) ,

; ; ;

ж) , з) ,

; .

14. Решите уравнение в целых числах:

а) х² + у² = 169; б) х² + у² – 2х + 6у + 10 = 0; в) 2х² + 5ху + 3у² + 5х + 8у = 7.

15. Найдите положительные решения уравнения:

а) 4х + 5у = – 7, б) 3х + 7у = 55.

16. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение на множестве целых чисел? Можно ли сказать, что всегда пара чисел является решением данного уравнения?

17. Найдите три пары двузначных натуральных чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?

18. Решите уравнение в целых числах: 6х – 5у = 21.

19. Для упаковки самоваров имеются ящики, из которых в одни укладывается 4 самовара, в другие – 7. Сколько нужно взять тех и других ящиков, чтобы упаковать 41 самовар?

20. Найдите все значения а, при которых система:

а) 3х + 7у = 20, б) ах + ау = а²,

ах + 14у = 15;х + ау = 2

имеет единственное решение.

21. Найдите все значения а, при которых система:

a) (а + 1 )х + 8у = 4а, б) х + 2ау = 1,

ах + (а + 3)у = 3а – 1;(а – 1)х + 4у = 2а – 3

имеет бесконечно много решений.

22. Найдите все значения а, при которых система:

а) – 4х + ау = 1 + а, б) а^гх + (2 – а)у = 4 + а²,

(6 + а)х + 2у = 3 + а; ах + (2а – 1)у = а⁵ – 2.

не имеет решений.

23. Определите положительные значения а и b так, чтобы система имела бесконечное множество решений.

(1 + а) х + (а + b)у = b – а,

(5 + а)х + 2(а + b)у = b – 1

имела бесконечное множество решений.

24.Напишите уравнение окружности с центром А(а, b) и радиусом R, если: а) а = – 4, b = 0, R = 10; б) а = 0, b = 0, R= 6.

25. С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) у² = х, б) ху = 12,

ху = 8; х² + у² = 15.

26. Решите графически:

а) 3х – 2у = – 12, б) 2х + 5у = 10,

х + 2у = – 4; 4х + 10у = 15;

в) х + у = 1, г) 5х – 2у = 3,

2х + 2у = 2; 4х + у = 5.

27. Решите графически систему уравнений и проверьте полученные ответы путем аналитического решения:

у = х² + 5х,

x = у² + 5у.

28. Приведите уравнения, различных видов, которые встречаются в учебниках математики для начальной школы.

29. Какими способами решаются уравнения в начальных классах?

30. Найдите в учебниках математики для начальной школы текстовые задачи, которые необходимо решить алгебраическим методом.

31. Придумайте задачи для школьников начальных классов, в основе решений которых лежат теоретические положения данной главы.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:[3], [16], [42], [64], [69], [72], [76].

Дополнительная:[2], [8], [9], [12], [14], [18], [22], [23], [29], [31], [32], [35],

[43], [48]-[50], [55], [60], [62], [83], [90], [91], [95], [96].