Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности, выражается в тех же единицах, что и признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем, отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение величины именованные. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – наиболее широко применяемые показатели вариации. Они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики.

Для примера 2 среднее квадратическое отклонение будет:

σ = =220часов.

Пример.3. Произведем расчет показателей вариации для данных о производительности продукции работников цеха.

Произведено продукции, шт.	Число работников, чел.	Расчетные показатели
xf		/ /f	( )2f
А	Б	В	Г	Д	Е
			-2
			-1
Итого

Размах вариации: R = 12 – 8 = 4шт.

Для вычисления среднего линейного отклонения, сначала найдем среднее арифметическое, для этого воспользуемся итогами графы В

=10 шт., средняя производительность работников цеха. Затем итогами графы Д: шт.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах, что и варианты.

Вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение, заполняем следующий столбик Е: =1,48 и шт.

Значит в данном примере средняя величина колеблемости производительности продукции у работников цеха составляет: по среднему линейному отклонению ± 0,96 штук, по среднему квадратическому отклонению ± 1,22 штук.

По свойству мажорантности средних величин σ всегда больше . Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то σ ≈ 1,25 , или ≈ 0,8σ.

Среднее квадратическое отклонение показывает, как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. В соответствии с теоремой П.Л.Чебышева (1821 – 1894) можно утверждать, что независимо от формы распределения 75% признака попадают в интервал ± 2σ, а по крайней мере 89% всех значений попадают в интервал ± 3σ.