Решение. 1. Изобразим соответствие в виде графа (рис

1. Изобразим соответствие в виде графа (рис. 5).

Рис. 5

2. Выясним, какими из свойств обладает данное соответствие.

а) Соответствие не всюду определено, так как .

б) Соответствие не является сюръективным, так как .

в) Соответствие не является функциональным, так как его график содержит две пары и с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие инъективно, так как его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

3. Найдём образ и прообраз .

, так как и .

, так как и только .

4. Построим соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и данное соответствие.

Пусть , , .

Покажем, что это соответствие (рис. 6) обладает тем же набором свойств, что и данное. а) Построенное соответствие не всюду определено, так как . б) Построенное соответствие не сюръективно, так как . в) Построенное соответствие не функционально, т.к., например, и .

Рис. 6

г) Соответствие инъективно, так как его график не содержит пар с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.

5. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно, изобразим его в виде графа (рис. 7) и аналитически: Покажем, что это соответствие обладает набором свойств, противоположным набору свойств соответствия .

Рис. 7

а) Действительно, это соответствие всюду определено, так как .

б) Соответствие сюръективно, так как .

в) Соответствие функционально, так как в его графике нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие не инъективно, так как его график состоит из двух пар и с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.

Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, оно является отображением на .

Задание 3.2.Для соответствия

1. Определить набор свойств, которыми обладает данное соответствие.

2. Построить соответствие между конечными множествами с набором свойств, противоположным данному, изобразив соответствие аналитически и в виде графа.

Замечание. Отметить случаи отображений и биекций.