Соответствия

Соответствием между множествами и будем называть тройку объектов: , где – область отправления соответствия, – область прибытия соответствия, – график соответствия, т.е. .

Областью определения соответствия будем называть . Областью значений соответствия будем называть .

Соответствие называется всюду определённым, если .

Соответствие называется сюръективным, если

Соответствие будем называть функциональным, или функцией, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами, т.е. пар типа

Соответствие называется инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами, т.е. пар типа

Соответствие называется отображением в , если оно всюду определено и функционально.

Соответствие называется отображением на , если оно всюду определено, функционально и сюръективно.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно функционально и инъективно.

Соответствие называется биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Образом элемента при соответствии называется такой элемент , что , т.е. .

Прообразом элемента при соответствии называется такой элемент , что , т.е. .

Образом множества при соответствии называется множество

.

Прообразом множества при соответствии называется множество

.

Множества называются равномощными (эквивалентными), если между ними можно установить биекцию.

Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка .

Задание 3.1.Дано соответствие .

1. Изобразить соответствие в виде графа.

2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определённость, сюръективность, функциональность, инъективность) обладает .

3. Найти образ множества и прообраз множества при данном соответствии.

4. Построить соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .

5. Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным набору свойств соответствия .

Замечание. Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.