Пример решения задания 1.10.

Проверить равносильность систем

и .

Решение. Возьмём множества общего положения , являющиеся подмножествами универсального множества . Пользуясь техникой, описанной в решении примера 1.9 будем иметь:

,

, ,

, .

1. Рассмотрим включения, вошедшие в систему (*).

, .

По условию, , следовательно, список 6, 8, 14 пуст. Значит,

, , , .

Для второго включения имеем:

, .

Так как , то . Множества и можно записать так:

, .

И, наконец, , то есть . Откуда следует, что .

Итак, множества и таковы:

, , , .

Проверим, при полученных и , выполнение включений (**):

, поэтому включение выполняется независимо от вида множества .

, , значит, и второе включение также выполнено.

Наконец, , и .

Получили, что все множества и удовлетворяющие системе включений (*), удовлетворяют также системе (**).

2. Пусть теперь выполняется система (**).

Так же, как и в первой части доказательства, возьмём множества

,

, ,

, .

Получим

, ,

и из выполнения включения следует, что .

Рассматриваемые множества примут вид:

,

, ,

, .

Тогда

, .

Из включения следует, что , значит,

,

, ,

, .

Следовательно,

, ,

Из включения следует, что , значит,

, , ,

, .

Проверим для этих множеств выполнение включений системы (*):

, и включение выполнено.

, , включение выполнено.

И, наконец, и также верно. Итак, доказано, что системы (*) и (**) равносильны.