Пример решения задания 1.4.

1. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий: , , ?

Решение. Изобразим множества в виде прямоугольников, расположенных на плоскости в общем положении, и поставим в каждой области, на которые плоскость разбита прямоугольниками, по одному символу: символ 4, например, обозначает список всех элементов, попавших во множества и , но не попавших в и т.д. Теперь составим множества и универсальное множество (рис.2): , , , .

Рис. 2

Изменим множества так, чтобы выполнились условия нашего задания.

Из того, что , следует, что множество не должно содержать элементов, т.е. из удаляем 8 и 3. Чтобы выполнилось условие , нужно удалить элементы списков 1, 4, 7. Тогда получится, что множества и имеют следующий вид: , , . Заметим, что для этих множеств .

Если под символами 2, 5 и 6 будем понимать соответствующие числа, то мы получим конкретный пример множества , для которых выполнены все условия заданного набора требований.

2. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий: , ?

Решение. Попробуем построить множества так же, как мы это делали в п. 1. Пусть , , . Чтобы выполнялось условие , удаляем элементы списков 6, 7. Для выполнения условия удаляем элементы из списков 2, 3. Но тогда множество не будет содержать элементов. Итак, мы показали, что этот набор условий противоречив, т.е. не существует множеств таких, что выполнены условия упражнения.

Задание 1.5.Выяснить взаимное расположение множеств , если – произвольные подмножества универсального множества .