Решение. 1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.

1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.

а) Каждому натуральному числу поставим в соответствие непрерывную функцию . Тогда, вычисляя определенный интеграл, будем иметь:

.

Следовательно, данное соответствие является всюду определённым.

б) Для некоторых непрерывных функций на определённый интеграл не выражается натуральным числом, например, пусть а и b не являются значениями ; тогда

.

Поэтому данное соответствие не является сюръективным.

в) Покажем, что две различные функции могут иметь на рассматриваемом промежутке одинаковое значение определённого интеграла. Для этого можно рассмотреть функции

и .

Для определенный интеграл не отрезок , как мы уже выяснили, равен . Найдём соответствующий интеграл для :

.

Итак, доказано, что соответствие, описанное в условии задания, не является функциональным.

г) Так как для каждой функции её определённый интеграл на данном промежутке находится однозначно, данное соответствие является инъективным.

2. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было не всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно.

Пусть (рис. 8). Покажем, что построенное соответствие обладает требуемым набором свойств. а) Соответствие не всюду определено, так как элемент , входящий в область определения, не имеет образа при данном соответствии.

Рис. 8

б) Соответствие сюръективно, так как его область прибытия совпадает с областью значений.

в) Соответствие функционально, так как его график не содержит пар с равными первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие не инъективно, так как в его графике пары и имеют различные первые и одинаковые вторые координаты.

Задание 3.3. Установить биекцию между множествами.