Пример решения задания 4.2.

Решить задание 4.2 для случая, когда множество теннисистов, участвующих в турнире, где каждый теннисист должен сыграть с каждым ровно три партии. Пусть означает, что обыграл по результатам личных встреч.

1. Выясним, какими из основных свойств обладает данное отношение.

1 (рефлексивность). Отношение не является рефлексивным, так как найдётся теннисист, не обыгравший сам себя.

2 (антирефлексивность). Отношение является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя.

3 (симметричность). Отношение не является симметричным, так как найдётся пара теннисистов и такая, что обыграл по очкам в личных встречах, а не обыграл .

4 (антисимметричность). Отношение является антисимметричным, так как если обыграл , то обязательно не обыграл .

5 (транзитивность). Отношение не является транзитивным, так как может сложиться ситуация, когда обыграл , обыграл , и в то же время обыграл .

6 (связность). Отношение является связным, так как любая пара спортсменов должна сыграть между собой и выяснить победителя.

2. Выясним, что из себя представляют отношения , .

По определению композиции, означает, что найдётся такой, что и . То есть в отношение будут вступать такие пары спортсменов и , для которых найдётся такой теннисист , что обыграл , а обыграл .

Рассуждая аналогично, получим, что в отношение будут вступать такие пары спортсменов и , для которых найдётся теннисист такой, что обыграл , а проиграл . То есть график отношения будут образовывать пары, составленные из теннисистов, для которых найдётся хотя бы один спортсмен, которого они оба обыграли в турнире.

3. Построим на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное. Пусть . Изобразим это отношение в виде графа (рис. 10). 1. Это отношение не является рефлексивным, так как . 2. Отношение антирефлексивно, так как и и .

Рис. 10

3 . Отношение не симметрично, так как и .

4. Отношение антисимметрично, так как и , и , и .

5. Отношение не транзитивно, так как и , но .

6. Отношение связно, так как любая пара различных элементов из множества вступает в отношение в том или ином порядке.

4. Построим на бесконечном множестве отношение рефлексивное, не антирефлексивное, симметричное, не антисимметричное, транзитивное и не связное.

Пусть , означает, что и имеют одинаковую дробную часть.

1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.

2. Отношение не антирефлексивно, так как найдётся число (например, 1,32), имеющее одинаковую дробную часть само с собой.

3. Отношение симметрично, так как если и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют одинаковую дробную часть.

4. Отношение не антисимметрично, так как, например, числа 1,78 и не равны, и в то же время и .

5. Отношение является транзитивным, так как если и имеют одинаковую дробную часть, и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют ту же самую дробную часть.

6. Отношение не связно, так как, например, и и .

Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются множества, состоящие из элементов с одной и той же дробной частью, что равносильно условию . Индекс разбиения, соответствующего данному отношению эквивалентности – континуальный, так как мощность фактор-множества равна мощности всевозможных дробных частей, то есть множеству точек промежутка .

Задание 4.3. Провести факторизацию отображения , если , , а значения заданы таблицей.