Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Подмножество, собственное подмножество




После того как введено понятие множества, возникает задача конструирования новых множеств из уже имеющихся, то есть определить операции над множествами.

Множество М', каждый элемент, которого является элементом другого множества М, называется подмножеством данного множества М. Таким образом, множество М'называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М' принадлежит множеству М:

,

где - знак включения подмножества; — «если..., то....», — «если и только если...».

Или это же можно записать в виде импликации

Множества М' и М могут совпадать. Невключение подмножества М'в множество М обозначается так: .

Для выделения подмножества Ма Мb можно использовать какое-либо свойство присущее только элементам из Ма.

Символическая запись А Í М (здесь Í - символ отношения включения всех элементов А в М).

Графической интерпретацией этого отношения между множеством может быть диаграмма, или индикатором (характеристической функцией):

xÎA, xÎM, A Í M f:M ® {0,1}.

Логическая экспликация понятия подмножества А множества М с агрегатной и атрибутивной точек зрения следующая:

(AÍM) ~ ("х((xÎA) ® (xÎM))) (1)

(AÍM) ~ ("x((xÜA) ® (xÜM))) (2)

здесь метасимволы ~ и ® следует считать соответственно как "эквивалентность" и "если…то".

Замечание:

1) Говорят что индикатор fA(х) множества А, определенный на множестве М, задает четкое подмножество А множества М (индикатор множества условно записывают fA(х): М ® {0,1}).

Пусть M = {x1,x2,x3,x4,x5}, A = {x2,x3,x5}. Так как A ‹‹не строго содержится ›› в M, то, используя понятия характеристической функции множества A, имеем:

A={‹x1,0›, ‹x2,1›, ‹x3,1›, ‹x4,0›, ‹x5,1›}.

В этом выражении множество есть множество кортежей, первой компонентой которых являются элементы множества M, а второй компонентой – принадлежности элемента множества M множеству A.

2) Если степень принадлежности множества M множеству A есть субъективно множественная оценка

то говорят о нечетком подмножестве A множества М (множество М всегда четко!).

3) (AÍB) ~ (("xÎU):

Пример:

1) Множество студенток ИСТАС, есть нечеткое подмножество A всех студенток ИСТАС M, т.е. A ‹‹не строго содержится в›› M, (очевидно, что понятие "красавица" для каждого человека субъективно и, следовательно, степень его оценки той или иной студентки различна).

2) Пусть M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Привести подмножество "большие цифры". Возможный вариант:

A={‹0,0›,‹1,0›,‹2,1/1000›,‹3,1/100›,‹4,1/10›,‹5,0.5›,‹6,0.6›,‹7,0.7›,‹8,0.9›,‹9,1›}. Здесь первая компонента каждого кортежа есть цифра множества M, а вторая компонента этих же кортежей есть степень принадлежности цифры к искомому подмножеству.

 

Кортеж

Определение. Пусть даны множестваХ12, ...,Хnкортежемдлинып,составленным из элементов этих множеств, называется конечнаяпоследовательностьα = { х12, ...,хn },где для всехk, 1 ≤ k ≤ п,имеемхk Хk

Элемент хkназывается kкоординатой или kкомпонентой кортежа α.

Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны, т.е. кортежи α = { х12, ...,хm } и β = { y1 ,y2, ...,yn }равны только в том случае, когда т = п, причем хk = уk для всех 1 < k < п.

Кортежи длины два называют упорядоченными парами, длины три — упорядоченными тройками, длины n — упорядоченными n-ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты, т.е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие:

а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

б) в множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

В дальнейшем, чтобы различать множества и кортежи, будем элементы множества заключать в фигурные скобки, а координаты кортежа — в угловые.

Пусть А1, А2, ..., Ап — некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из кортежей вида 1, а2,..., an>, где а1 A1, а2 A2,; а3 A3,; ...; аn An,. Декартово произведение обозначается так:А1 × А2 × ... × Ап.

Произведение А × А × ... × А ( п раз) сокращенно обозначается как Аn и называется декартовой n-й степенью множества А.

Таким образом, подводя итог выше сказанному, можем дать следующее определение.

Конечная последовательность, допускающая повторения элементов данного множества (или данных множеств), называется кортежом (n-кой, вектором, набором, упорядоченным множеством).

Условно кортеж записывают в угловых скобках ‹a,b,c›

Примеры:

1. Слово в алфавите A есть кортеж.

2. Команда в программе для ЭВМ есть последовательность символов из алфавита языка программирования.

3. Алфавит русского языка есть алфавит.

4. Программа для ЭВМ есть кортеж команд.

5. Координаты точки в n-мерном пространстве образуют кортеж.

Отметим следующее:

1. В условной записи кортежа элементы, его образующие, называются компонентами (координатами).

2. Число компонент кортежа называется его длиной. Так принято кортеж длиной два ‹a1,a2 называть парой (или упорядоченной парой), кортеж длины три ‹x1,x2,x3 - тройкой. В общем случае ‹a1,a2› ≠ ‹a2,a1›.

3. Кортеж длины n можно интерпретировать как n-мерный вектор, или как точку в n-мерном пространстве, а каждую компоненты кортежа можно рассматривать в этом случае как проекцию вектора на соответствующую ось.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты