Точная верхняя {нижняя) граница

Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Е^s, всех нижних границ - через Еⁱ. В случае, когда Е^s (Еⁱ) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z принадлежит пересечению (соответственно, ), то он является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Е^s)ⁱ эквивалентно Е^si. Непустота пересечения {} означает, что среди верхних (нижних) границ Еимеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.

Утверждение. Пересечения {} не могут содержать более одного элемента

Доказательство.

Пусть . Тогда х ≤ у, поскольку . Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x А тогда х = у.

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна. Точная верхняя граница (supremum) множества Е обозначается символом sup Е, точная нижняя граница (infimum) — символом inf Е.

Если элементы Е занумерованы с помощью некоторого множества индексов Ξ = {ξ}, то применяются обозначения

sup Е = inf Е =

Если Е состоит из конечного числа элементов х₁,х₂,, ..., х_n, то пишут

sup Е = или sup Е =

inf Е= или inf Е= .

Основные свойства верхних и нижних границ в произвольном частично упорядоченном множестве X.