При условии, что хотя бы одна из граней, фигурирующих в равенстве, существует.

7. Если φ- дуальный изоморфизм, то всегда

,

.

с той же оговоркой, что и в 6.

Отметим в заключение очевидную изотонность операций и .

Если х1 ≤ у1,х2 ≤ у2, ....хn ≤ уn, то

Принцип двойственности

Пусть К - некоторой класс частично упорядоченных множеств, содержащий вместе с каждым входящим в него частично упорядоченным множеством X также некоторое ему дуально изоморфное. На основании упомянутых свойств 7, 8

7. Если φ- дуальный изоморфизм, то всегда

, .

8. Если φ- дуальный изоморфизм то всегда

, .

можно утверждать, что всякое утверждение, относящееся к свойствам порядка и справедливое для любого , перейдет после замены содержащихся в его формулировке неравенств противоположными, верхних границ нижними, а нижних — верхними в утверждение, также справедливое для всех .

Сформулированный принцип называется общим принципом двойственности для частично упорядоченных множеств.

Парадокс Рассела (Бертран Рассел (1872-1970)

Возможность задания множеств характеристическим предикатом зависит от предиката. Использование некоторых предикатов для этой цели может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество Y всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

.

Если множество Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: ? Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Вот три способа избежать этого конкретного парадокса.

1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом

,

где А — известное, заведомо существующее множество (универсум). Обычно при этом используют обозначение . Для Y универсум не указан, а потому Y множеством не является.

2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества элементов типа 0 имеют тип 1, множества элементов типа 0 и 1 — тип 2 и т. д. Y не имеет типа и множеством не является.

3. Явный запрет принадлежности множества самому себе: — недопустимый предикат. Соответствующая аксиома называется аксиомой регулярности.