КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Комментарий
ОТСТУПЛЕНИЕ
Существование и анализ парадоксов в теории множеств способствовали развитию так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения те понятия и методы классической математики, которые не заданы алгоритмически
Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, предоставляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.
В современной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.
Примерами пространств могут служитьметрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств.Метрическое пространство — это множество точек Хс расстоянием между ними d>0, удовлетворяющем трем аксиомам:
1)d(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);
2) d(х, у) = d(у, х) (аксиома симметрии);
3) d(х, у) = d(х, z) + d(y,z) + d(y,z), гдех,у,z 
Х (аксиома треугольника).
Расстояние d(х, у) называетсяметрикой, а пара (х, d) —метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел Х с расстоянием между ними d = \х - у\.
В двумерном эвклидовом пространстве Е2(плоскости) расстояние между двумя точками М1(х1,y1), М2(х2 ,у2) определяется по выражению d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2. Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2+ (z1 - z2)2 и на многомерное его обобщение Еn, в котором элементами множества Х являются упорядоченные наборы <х1, х2, ..., хi ..., хn> действительных чисел: расстояние между двумя точками этого пространства определяется по выражению
d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2+ (z1 - z2)2
Линейные пространства — это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:
1) для каждой пары элементов х, у е Х определен третий элемента е Х, называемый их суммой и обозначаемой какх+ у. При этой сумма удовлетворяет следующим условиям: х+у=у+х,
Х + (у +V) = {X + у) + V;
2) во множестве Х существует такой элемент 0, что х +0 = х для всех х е X;
3) для всех х е Х существует такой элемент-х, что х + (-х) = 0;
4) для любого числа а и любого элемента х е Х определен элемент осх ё Х такой, что (а + (3)х = ах + рх, а(х + у) = ах + ау.
Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложениям умножения. Если п /;-мсрном эвклидовом пространстве I-'/' упорядочен и ыс наборы чисел < а'], х,, ..., х,, ..., х„ >е Х считать координатами нектороп с условием, что нулсной вектор это
вектор с нулевыми значениями < х,, х-,, ..., х,, ..., х„>, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.
Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для'каждого элемента х е Х существует неотрицательное число ||х|, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:
|х|| = 0, тогда и только тогда, когда х = 0;
|ах| = а|х|, где а — некоторое число;
1^Ц ^1НМ1-
Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с нормой (1 = х - ^||, так как эта норма-удов-летворяет аксиомам метрического пространства:
х-у\\= 0, если х = у; \\х - у\\ = \\у - х||; ||х - у\\ ^ ||х - г|| + ||^ - У\[
Нормой х||в одномерном векторном пространстве Е' является абсолютная величина х. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е2 является длина вектора, вычисляемая по выражению ||х|| = ^х,2+х2 . Для /7-мерного векторного пространства норма ||х|| определяется по аналогии с двухмерным пространством
Х|| = ^/Х,2 +X22+...+X,2+...+-х]- .
В заключение следует сказать, что в терминах линейных век-юрных пространств формулируются задачи математического программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.
Вопросы и задачи
1. Дайте определение множества.
2. Когда множество считается заданным?
3. Как принято обозначать и задавать множества? Приведите примеры задания множеств.
4. Какое множество называется пустым?
5. Когда множества равны?
6. Равны ли множества А = {а, b, с, d}, В = {а, b, с, d}?
7. Что такое семейство множеств?
8. Из скольких множеств состоит семейство А = {{0}, {1,2}, {1,2},{0}}?
9. Принадлежит ли элемент 2 множеству A={{ 1,2}, {1,2, 3}}?
10. Дайте определение включения множеств.
11. Является ли множество A = {х |0≤ х≤ 1} подмножеством В = {х| 1≤ х≤ 3}, подмножеством С = {х |-3 ≤.х ≤2}?
12. Какое минимальное число подмножеств имеет не пустое множство?
13. Запишите все подмножества множества А = {1, 4}.
14. Перечислите все элементы индексированного множества Z = {zi|1≤i≤3}. Запишите индексное множество.
15. Какие множества называются конечными? Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.
16. Выпишите элементы объединения множеств А = {а,b}, В = {1,b}, С = {1,d}.
17. Выпишите элементы пересечения множеств A = {{a,b}, { 
}, {a}}, B={{с},{a},{1}}.
18. Выпишите элементы множества М = А - В для множеств' .4 ={1,3, 5}, В ={5, 6, 7}.
19. Выпишите элементы множества М = (А - В) 
(А 
В) для множств А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {3, 4, 5}; для множеств А = {2, 4, 5}, B = {1, 4}; для множеств А = {1}, В = .
20. Дайте определение разбиения множества. Приведите все разбиения для множества А = {a, b, с}.
21. Какие множества называются эквивалентными? В каких случаях эквивалентны конечные и бесконечные множества?
22. Дайте определение счетного множества.
23. Что такое мощность множества? Дать определение.
24. Чему в математике служат отношения?
25. Как классифицируются отношения в зависимости от числа связей между элементами множества?
26. Дайте определение бинарного отношения.
27. Что представляет собой декартово произведение множеств?
28. Выпишите декартовы произведения множеств А = {а, b}, В = {1, 3}; декартового квадрата А = {1, а}.
29. Сколько элементов включает декартовый квадрат множества A = {1, 2,...,i, ...,n}?
30. Дайте определение бинарного, тернарного и n-арногоотношения в терминах множеств.
31. Что понимают под рефлексивными и антирефлексивными отношениями?
32. Как характеризуются симметричные, асимметричные
и антисимметричные отношения?
33. Дайте определение транзитивного отношения.
34. Дайте определение отношения эквивалентности и приведите примеры.
35. Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Является ли отношение ≤ на множестве А = {1, 2, 3} отношением нестрогого порядка?
36. Какое отношение называется отношением строгого порядка?
37. Какое множество называется упорядоченным, полностью
упорядоченным?
38. Что такое линейный порядок?
39. Дайте определение функции.
40. Является ли отношение R = {<1,а>, <1,b>, <2,а>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {1,2}, B = {а, b}, функцией?
41. Является ли функция f(х) = х2 инъективной?
42. Что представляет собой функционал?
43. Как в математике определяется пространство?
44. Какое пространство называется метрическим?
45. Что представляет собой линейное пространство?
46. Дайте определение линейного нормированногопространства.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |