Дополнение 1: Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

В большинстве исследований отмечается, что классическая наука ньютоновского типа превращает мир в громадный механизм, управляемый разумной волей и состоящий из локализуемых в пространстве частей. Именно такого рода представления превратились в конечном счете в то, что принято сегодня называть механистическим пониманием природы. Такое понимания нашло свое емкое выражение в знаменитом мысленном эксперименте Лапласа, где главным персонажем выступает гипотетический разумный наблюдатель, чей сверхмощный интеллект обладает в каждый данный момент полным знанием всех сил природы, как в большом, так и в малом, и который способен посредством этого знания иметь “полную картину состояния, в котором природа находится”, а также “обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое”. Речь фактически идет об абсолютной наблюдаемости, если угодно, “прозрачности” самых мельчайших деталей происходящего в природе —наблюдаемости как принципе, внутренне связанном с идеей абсолютной управляемости природы, подчиненности ее вечным и неизменным законам. Природа выступает в качестве полностью подчиненного универсальным механистическим законам посредствующего звена между богом и человеком, звена, которое мыслится в образе огромной механической машины, постижение которой равнозначно постижению замысла Бога. С этой картиной хорошо согласуется рационалистический взгляд на ученого как на существо, хотя и конечное и, очевидно, в этом качестве не равное бесконечномерному Богу, но тем не менее способное по “конечным проекциям” как проявлениям высших начал расшифровывать план творения природы, видеть ее с божественной точки зрения, приобщившись тем самым к высшей мудрости, а заодно и к могуществу верховного законодателя.

Не углубляясь в вопросы генезиса классической науки, ее корней в социальной истории западного общества, отмечу, что вся эта бегло обрисованная выше гносеологическая схема, отделяющая наблюдаемое от наблюдателя и воссоздающая их связь на рациональной основе, оказалась хорошо приспособленной для естественного включения в нее как экспериментального, так и математического методов познания в качестве тех средств, с помощью которых человеческий разум “получает доступ к той самой сокровенной точке, откуда Бог наблюдает природу, к тому божественному плану, осязаемым выражением которого является наш мир”^[xxxviii]. Именно в рамках этой, по сути дела, платонистски ориентированной схемы познания сформировалась одна из самых фундаментальных идеализаций классического естествознания (впрочем, не только классического) — идеализация абсолютно автономной, не взаимодействующей со своим “внешним” окружением системы. Ю.И.Манин называет ее также абстракцией изолированной или замкнутой системы, характеризуя которую, он пишет: “Это часть Вселенной, эволюция которой в течение некоторого периода существования определяется лишь внутренними законами. Внешний мир или не взаимодействует с системой вовсе, или в некоторых моделях это взаимодействие учитывается суммарно как эффект связей, внешнего поля, термостата... Петли обратной связи нет или она искусственно прервана. Мир разбирается на детали, узлы и сборки как в заводских спецификациях. И в самом деле, это идеология не только Человека Размышляющего, но и Человека Делающего. Винтики и шестеренки большой машины мира, когда их поведение понято, могут быть собраны и соединены в новом порядке. Так является лук, ткацкий станок и большая интегральная схема”^[xxxix]. Данная идеализация (или абстракция) обособленной, изолированной системы, наблюдаемой “внешним” наблюдателем, явилась одной из методологических предпосылок симбиоза эксперимента и математики, лежащего у истоков классического естествознания XVII в.

Упомянутый симбиоз приобрел в истории научного познания разные, порой весьма специфические, формы. Среди многообразия этих форм особое место принадлежит мысленному эксперименту, сыгравшему важную роль в научном творчестве многих знаменитых физиков. Проблеме, связанной с ролью и местом мысленного эксперимента в научном познании, посвящена обширная литература. Я же коротко хочу остановиться на принципиальной роли мысленного эксперимента — как конструктивного фактора — в развитии теоретического знания не только в физике как таковой, но и в математике. Эта роль обычно остается скрытой в тех случаях, когда методологический анализ проблем физики или научного знания вообще ориентирован на рассмотрение только готового, завершенного знания-результата, отдельно от методов и средств его получения, то есть, по сути, вне конкретного контекста человеческой познавательной деятельности как развивающегося исторического процесса. Мысленный эксперимент как относительно самостоятельная форма теоретического познания – это, прежде всего, задаваемый природе конкретный вопрос, проблематизирующий последнюю и имеющий обычно вид: “Что увидит наблюдатель, если...?”. В контексте же готового знания мысленный эксперимент – это ответ на ранее задававшийся вопрос. Но в силу все той же укоренившейся в естествознании традиции внеисторического, вневременного рассмотрения, о которой говорилось выше, этот готовый ответ часто необоснованно представляется в форме универсально истинного декларативного утверждения, в полном забвении того вопроса, который когда-то вызвал его к жизни.

Именно так зачастую и бывает, когда мы оцениваем роль и место аппарата математического анализа, в частности аппарата дифференциальных уравнений как средства математического описания физических процессов, то есть их моделирования, которое всегда предполагает явное или неявное принятие некоторой совокупности идеализирующих предпосылок относительно моделируемой реальности. К их числу относится и упомянутая идеализация изолированной, замкнутой системы. “Классическая замкнутая система, — отмечает Ю.И.Манин, —изолирована от всего внешнего мира, значит, и от внешнего наблюдателя. Она изолирована от воздействий, которые на нее может оказать наблюдатель. Наблюдение — не воздействие. Наблюдение — это важнейший мысленный эксперимент, который можно произвести над системой и цель которого состоит в первую очередь в локализации системы в ее фазовом пространстве. Можно сказать и наоборот: фазовое пространство есть множество возможных результатов мгновенных полных наблюдений... Эволюция — это набор результатов наблюдений во все моменты времени”^[xl]. С точки зрения сказанного, дифференциальное уравнение, посредством которого выражается, например, второй закон Ньютона — F=mx — есть компактная форма записи связи последовательности мысленных экспериментов — наблюдений над локализуемой системой. И эти классические мысленные эксперименты, в отличие от широко известных квантовых мысленных экспериментов типа g-микроскопа Гейзенберга и др., исходят из идеализированного допущения принципиальной возможности достижения абсолютной точности наблюдения (измерения) путем устанавливания полного контроля над всеми возможными воздействиями на систему, рассматриваемыми как источник случайных или систематических ошибок.

Создание математического аппарата дифференциальных уравнений (Ньютоном и Лейбницем) знаменовало собой в глазах современников становление абсолютно точной идеальной науки, полностью защищенной от субъективного произвола тех или иных земных авторитетов. Вольтер в предисловии к французскому переводу “Математических начал” писал: “Того же, кто освоил исчисление бесконечно малых, кто проделал эксперименты со светом, кто усвоил законы притяжения, в Англии более не именую ньютонианцем: теперь давать название какой-нибудь секте стало привилегией ошибки”^[xli]. Обоснованием нового математического приема явилась теоретическая механика, в которую в качестве универсальной переменной было введено время. Причем “время как таковое его [Ньютона] не интересовало, он рассматривал только его равномерное течение”^[xlii]. Время здесь (в отличие от времени Декарта, у которого оно определялось порядком сменяющих друг друга явлений) выступает как некий однородный фон, на котором совершаются все природные процессы и который “трансцендентен” им. Помимо всего прочего в такой картине мира нет места и идее необратимости, ибо прошлое и будущее практически ничем не отличаются друг от друга в качественном отношении. В рамках математического формализма данное обстоятельство выражается в том, что в уравнениях движения Ньютона время присутствует во второй производной^[xliii].

Другой особенностью классического естествознания, внутренне связанной с концепциями однородного, “опространствленного” времени, а также с изолируемостью (локализуемостью) природных процессов, является принцип линейности фундаментальных законов, которым эти процессы подчиняются. Физический смысл принципа линейности сводится к утверждению, согласно которому отклик (или реакция) системы на относительно малые воздействия линейно (пропорционально) зависит от их силы. С математической точки зрения речь идет о линейных дифференциальных уравнениях, в которые неизвестные величины входят в степени не выше первой (например: уравнения Гамильтона, уравнения Максвелла и т.д.). Принципиальная возможность представить почти любую закономерную связь явлений в виде линейного уравнения, в левой части которого стояло бы выражение в виде комбинации из вторых производных по времени (ускорений) от неизвестных величин, а в правой – сила, записанная в виде функции той или иной степени сложности, превратилась в один из важнейших идеалов классического физико-математического естествознания. Разумеется, были и исключения, например процессы, связанные с трением или взаимным притяжением тел, где силы нелинейно зависели от расстояния, но их исследование долгое время не оказывало существенного влияния на “линейную” установку физиков и математиков. При этом считалось (и это вытекало из типа уравнений), что любое, пусть даже малое, изменение в начальных условиях однозначно приводит к пропорциональному изменению конечного результата движения, ради которого, собственно, и предпринимались вычисления. Причем если начальные условия не задавались исчерпывающим образом, то задача в классической физике теряла смысл. Позднее, с появлением статистической физики, некоторые вопросы, касающиеся объективных оснований всякого рода неточностей, неопределенностей и ошибок, стали предметом дискуссий в контексте вероятностных представлений. Тем не менее фундаментальный статус принципа линейности остался в общем не поколебленным.

XIX век, особенно его вторая половина, стала для математиков периодом интенсивного поиска методов решения линейных дифференциальных уравнений. Было выработано немало эффективных способов интегрирования. Но далеко не для всех типов уравнений удавалось найти формульную запись решения, а многие из полученных формул имели столь замысловатый вид, что воспроизведение по ним возможной траектории движущегося тела требовало немалых усилий. Это обстоятельство стимулировало попытки извлечь качественные характеристики движения непосредственно из формы самого уравнения, минуя трудности интегрирования. Указанная проблема нашла свое разрешение в 90-х годах XIX века в цикле статей А.Пуанкаре, озаглавленных: “О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями”, где излагались качественные методы теории дифференциальных уравнений. К тому времени уже было известно, что поведение кривой определяется лежащими на ее пути специфическими точками, в окрестности которых она ведет себя особым образом. Тогда изучение кривой можно свести к извлечению из уравнения сведений об этих точках. Пуанкаре обнаружил, что число таких точек весьма ограничено (он ввел представление о четырех типах устойчивых или неустойчивых особых точек и о предельном цикле — замкнутой кривой, выступающей одним из решений дифференциального уравнения, на которую наматываются либо изнутри, либо снаружи все остальные кривые, неограниченно приближаясь к ней, но не касаясь ее).

Другим нововведением Пуанкаре стало представление о фазовой плоскости, каждой точке которой ставится в соответствие определенное состояние (фаза) моделируемого объекта, характеризующееся набором его параметров. Для построения фазового портрета системы из совокупности дифференциальных уравнений (для фазовой плоскости их два), описывающих временные изменения параметров, исключается время (например, делением одного уравнения на другое) и рассматривается зависимость между самими параметрами, что позволяет, как с птичьего полета, увидеть все состояния, возможные для данного объекта. Именно здесь важную роль играет присутствие на фазовой плоскости устойчивых особых точек, говорящее о наличии у объекта состояний, к которым он эволюционирует от заданных начальных условий, когда на него не действуют внешние возмущающие факторы. Такие притягивающие к себе состояние системы особые точки на фазовой плоскости получили наименование аттракторов. Аттрактором может быть узел, устойчивый фокус или же предельный цикл, причем в последнем случае устанавливается так называемое динамическое равновесие между параметрами системы, когда ее состояние представляет собой незатухающий почти периодический процесс. При переходе к фазовому пространству (многомерный аналог фазовой плоскости) вид аттракторов усложняется, здесь ими могут быть не только точки, но и n-мерные структуры. Итак, характерной особенностью линейных дифференциальных уравнений является одинаковый тип поведения интегральных кривых на фазовой плоскости (или в фазовом пространстве). Это соответствует основному свойству линейных уравнений — принципу суперпозиции, согласно которому сумма частных решений линейного уравнения также является его решением.

Качественная теория дифференциальных уравнений была использована также для исследования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых неизвестные величины входят в степени выше первой, а в правой части содержится сложная функция, нелинейным образом зависящая от искомой величины. Как уже говорилось, нелинейные уравнения долгое время не были в фокусе физико-математического естествознания, хотя, конечно, ни математика, ни физика не могли их полностью игнорировать. Уже у Ньютона уравнение для силы взаимного притяжения тел имеет нелинейный характер. Тем не менее мир классики — это в принципе такой стабильный мир, все изменения в котором происходят непрерывно и плавно. Нелинейность в таком мире имеет как бы вторичный, производный, а потому не фундаментальный характер. Одним из первых исследований нелинейных уравнений была математическая модель формирования уединенных волн на поверхности жидкости, полученная голландскими математиками Д.И.Кортевегом и Г.де Фризом (в наши дни за такими волнами закрепилось название “солитонов”). Изучение этой модели показало, что одним из принципиальных отличий нелинейных дифференциальных уравнений от линейных является нарушение у первых принципа суперпозиции (или аддитивности): сумма частных решений нелинейного уравнения не есть также его решение. Это свойство нашло свое отражение при качественном анализе нелинейных уравнений с помощью фазовой плоскости. Оказалось, что, будучи изображенным на фазовой плоскости, вид траекторий интегральных кривых, полученных из нелинейного уравнения, меняется при переходе от одной области фазовой плоскости к другой. Тут можно говорить о качественном разнообразии поведения одного и того же объекта.

Еще раз подчеркнем, что одним из основных моментов представления того или иного процесса с помощью фазовой плоскости является исключение времени. Фазовый портрет акцентирует внимание не столько на временной последовательности событий (хотя в неявной форме она присутствует через характеристики особых точек), сколько на возможности одновременного представления всего набора возможных состояний данного объекта. Мы как будто видим все пути и остановочные пункты, которые способен пройти (но не обязательно пройдет в каждом конкретном случае) исследуемый объект, и, следовательно, мы можем оценить, так сказать, его “судьбу” в целом, независимо от того, с какого конкретного набора начальных условий он начинает “жить”. Если непосредственное формульное решение дифференциального уравнения дает возможность увидеть ситуацию “изнутри” события, как бы с точки зрения объекта, уже находящегося на интегральной кривой, и тем самым оценить его предыдущую историю и предсказать последующие стадии изменения и конечный результат (если таковой имеется), то видение “извне” с помощью фазовой плоскости позволяет осознать все возможные для данного объекта пути эволюционирования и таким образом выработать конструктивную стратегию воздействий, принципиально меняющую ход процесса, что увеличивает способность исследователя ориентироваться в сложных, чаще всего не описываемых линейными способами, ситуациях. Фазовая плоскость наглядно демонстрирует тот факт, что даже в несложном нелинейном уравнении в непроявленном виде присутствует широкий спектр способов существования данного фрагмента реальности. Причем каждое конкретное воплощение моделируемого объекта есть видимая форма скрытого содержания, заключенного в нелинейном уравнении. Перед физиком здесь встает задача, по образному выражению Л.И.Мандельштама, научиться “допрашивать нелинейные уравнения”^[xliv], задача, в решении которой за последние годы достигнут большой прогресс, обусловленный во многом успехами в области создания и применения ЭВМ. В свою очередь, видение реальности, вырабатываемое посредством нелинейности дифференциальных уравнений и ставшее возможным благодаря широкому использованию вычислительной техники, открыло новые горизонты в понимании не только физических, но и биологических, экологических, а также социальных процессов. Сказанное не означает, что нам теперь не нужны линейные модели как слишком грубые абстракции. И линейные, и нелинейные уравнения являются лишь средствами познания, конкретное применение которых зависит от задачи, поставленной перед исследователем. И все же, чем сложнее изучаемый природный объект, чем разнообразнее его поведение в качественном отношении, тем труднее он поддается средствам линейного моделирования. Процессы, связанные с эволюцией, морфогенезом системы, как правило, укладываются только в рамки нелинейных дифференциальных уравнений. На смену линейному миру ньютоновской механики пришел нелинейный мир с его качественным многообразием.