Решение систем линейных уравнений

Правило Крамера. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

. (1.1)

Решение находится по формулам Крамера

Решение.

По формулам Крамера

.

Матричное решение системы линейных уравнений. Систему линейных уравнений (1.1) можно представить в матричном виде , где , , .

Если матрица А невырожденная, то , умножая слева матричное уравнение на матрицу А^-1 , обратную А , получим , т.к. и , то .

Пример. Решить с помощью обратной матрицы:

.

Решение.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

.

Обратная матрица имеет вид .

Находим решение .

Таким образом, система имеет решение x = 1, y = 1, z = 1.

Метод Гаусса. Элементарными преобразованиями системы уравнений называют следующие преобразования:

1) перемена местами двух любых уравнений;

2) умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой и обратно.

Элементарные преобразования переводят систему в равносильную данной.

Пример. Решить методом Гаусса систему:

Решение. Сначала умножим первое уравнение на (–2) и сложим со вторым , затем первое уравнение умножим на (-5) и сложим с третьим , в результате получим систему:

.

Далее умножим второе уравнение на (+ 3) и сложим с третьим:

.

Из этой системы последовательно находим

z = -1 y = 4 + 3z = 1 x = 6 + 2z – y = 6 – 2 – 1 = 3.

Итак, первоначальная система с помощью элементарных преобразований приведена к равносильной системе, имеющей треугольный вид и единственное решение.

Пример. Решить методом Гаусса систему:

.

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

~ ~ .

Здесь первую строку умножили на (-3) и сложили со второй, далее - первую строку умножили на (-2) и сложили с третьей, а затем из третьей строки вычли вторую.

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений , равносильная данной. Неизвестные x и y можно выразить через z: