КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение систем линейных уравненийПравило Крамера. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными . (1.1) Решение находится по формулам Крамера , где , , , . Система имеет единственное решение при ∆ ≠ 0, множество решений при ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 и не имеет решения при ∆ = 0 и хотя бы одном ∆x , ∆y, ∆z , не равном нулю. Пример. Решить по правилу Крамера систему: . Решение. По формулам Крамера . Матричное решение системы линейных уравнений. Систему линейных уравнений (1.1) можно представить в матричном виде , где , , . Если матрица А невырожденная, то , умножая слева матричное уравнение на матрицу А-1 , обратную А , получим , т.к. и , то . Пример. Решить с помощью обратной матрицы: . Решение. Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.
. Обратная матрица имеет вид . Находим решение . Таким образом, система имеет решение x = 1, y = 1, z = 1.
Метод Гаусса. Элементарными преобразованиями системы уравнений называют следующие преобразования: 1) перемена местами двух любых уравнений; 2) умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; 3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число. Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой и обратно. Элементарные преобразования переводят систему в равносильную данной. Пример. Решить методом Гаусса систему: Решение. Сначала умножим первое уравнение на (–2) и сложим со вторым , затем первое уравнение умножим на (-5) и сложим с третьим , в результате получим систему: . Далее умножим второе уравнение на (+ 3) и сложим с третьим: . Из этой системы последовательно находим z = -1 y = 4 + 3z = 1 x = 6 + 2z – y = 6 – 2 – 1 = 3. Итак, первоначальная система с помощью элементарных преобразований приведена к равносильной системе, имеющей треугольный вид и единственное решение. Пример. Решить методом Гаусса систему: . Решение. Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования: ~ ~ . Здесь первую строку умножили на (-3) и сложили со второй, далее - первую строку умножили на (-2) и сложили с третьей, а затем из третьей строки вычли вторую. Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений , равносильная данной. Неизвестные x и y можно выразить через z: . Придавая z произвольные значения, получим соответствующие значения x и y . Таким образом, система имеет множество решений вида: .
|