Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

.

Тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3,5) параллельно вектору будет .

Задача. Дана пирамида АВСD с вершинами А(1,5,7), В(-1,0,1), С ( 3,-2,4 ), D ( 0,1,-1 ). Найти угол между ребром АD и гранью АВС .

Решение. Найдем уравнение грани АВС , т.е. уравнение плоскости, проходящей через три точки А , В и С .

Уравнение ребра AD - уравнение прямой, проходящей через две точки А и D :

.

Тогда угол между ребром и гранью будем находить по формуле угла между прямой и плоскостью:

.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,3) и через прямую, данную в виде пересечения двух плоскостей

.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей, проходящих через данную прямую . Так как плоскость должна проходить через точку А, то, подставив ее координаты в уравнение пучка, найдем λ :

.

Теперь, подставив λ в уравнение пучка, получим искомую плоскость:

Задача.Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Параметрически уравнения прямой запишутся в виде . Далее, подставив в уравнение плоскости, найдем t : .

По данному t найдем координаты точки пересечения

.